Tübitak Lise 2. Aşama 1999 Soru 4

[geo]

Her $n>1$ için $a_{n}=a_{n-1}(2-a_{n-1})$, $\dfrac{1}{2}<a_{1}<1$ ve $\sum\limits_{n=1}^{2000}{a_{n}}=1999$ koşullarını sağlayan tüm $(a_{n})$ gerçel sayı dizilerini bulunuz.

[geo]

Her $n>1$ için, $$1-a_n=1-a_{n-1}\left(2-a_{n-1}\right)={\left(1-a_{n-1}\right)}^2;$$ dolayısıyla da $$1-a_n={\left(1-a_1\right)}^{2^{n-1}}$$ olur. $\left(a_n\right)$ verilen koşuları sağlayan bir gerçel sayı dizisi ise, $$1=2000-1999=2000-\sum^{2000}_{n=1}{a_n}=\sum^{2000}_{n=1}{\left (1-a_n\right)}$$ $$=\sum^{2000}_{n=1}{{\left(1-a_1\right)}^{2^{n-1}}\ } < \sum^{\infty }_{n=1}{{\left(1-a_1\right)}^n}=\dfrac{1-a_1}{a_1}<1$$ olacağı için, böyle bir dizinin bulunmadığı gösterilmiş olur.

Kaynak:
Matematik Dünyası 2000-II

[geo]

Benzer bir çözümü dizinin genel terimini bulmadan yapacağız.

$1-a_n = 1 - a_{n-1}(2-a_{n-1}) = (1-a_{n-1})^2$

$b_n = 1 - a_n$ olsun.

$b_n = b_{n-1}^2$ ve $0<b_1<\dfrac 12$ olacaktır.

$b_n = b_{n-1}b_{n-1} < \dfrac 12 \cdot b_{n-1}$ olacağı için $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2000} b_n < \dfrac 12 + \dfrac 14 + \dfrac 1{8} + \cdots + \dfrac 1{2^{2000}} < 1$ olacaktır.

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2000} a_n = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2000} \left(1-b_n\right) = 2000 - \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{2000} b_n > 1999$ olacaktır. Dolayısıyla eşitliği sağlayan dizi yoktur.