Tebrikler. Ben de aynı şekilde düşünerek özdeşliği yazmıştım, sanırım en kolay ve anlaşılır yolu budur. Biraz farklı olabilecek bir yöntem olarak binom açılımını da kullanabiliriz. Muhtemelen daha cebirsel bir ispatı da vardır.
Çözüm 2: $(x+y)^{m+n} = (x+y)^n (x+y)^m$ biçiminde yazalım. Her iki tarafta da $x^{m+k}$ teriminin katsayısını inceleyeceğiz. $n \geq k\geq 0$ olduğundan, $(x+y)^n$ açılımında $x^k$ lı terimden başlayarak $x^n$ li terime kadar olan katsayıları düşünmeliyiz. Buna karşılık, sırasıyla $(x+y)^m$ açılımında da $x^m$ li terimden başlayarak $x^{m-n}$ li terime kadar olan katsayıları düşünmeliyiz. $m\geq n - k \geq 0$ olduğundan eşleştiremediğimiz/açıkta kalan bir terim oluşmaz. Böylece $x^{m+k}$ lı terimin katsayısı
$$ \dbinom{n}{k}\dbinom{m}{m} + \dbinom{n}{k+1}\dbinom{m}{m-1} + \cdots + \dbinom{n}{n}\dbinom{m}{m-n+k}$$
olur. Diğer taraftan $(x+y)^{m+n}$ binom açılımında $x^{m+k}$ lı terimin katsayısı $\dbinom{m+n}{m+k}$ olur. Katsayıları eşitlersek,
$$ \dbinom{n}{k}\dbinom{m}{m} + \dbinom{n}{k+1}\dbinom{m}{m-1} + \cdots + \dbinom{n}{n}\dbinom{m}{m-n+k} = \dbinom{m+n}{m+k} $$
elde edilir.
Bazı Sonuçlar:
$\bullet$ $k=0$ iken $ \dbinom{n}{0}\dbinom{m}{0} + \dbinom{n}{1}\dbinom{m}{1} + \cdots + \dbinom{n}{n}\dbinom{m}{n} = \dbinom{m+n}{m} = \dbinom{m+n}{n}$ özdeşliği elde edilir.
$\bullet$ $k=0$ ve $m=n$ iken $ \dbinom{n}{0}^2 + \dbinom{n}{1}^2 + \cdots + \dbinom{n}{n}^2= \dbinom{2n}{n} $ özdeşliği elde edilir.
