Eş çemberler

[geo]

$A$  merkezli $B$ den geçen çemberle $B$ merkezli $A$ dan geçen çember $C$ noktasında kesişmektedir. $\overset{\Huge\frown}{AC}$ küçük yayı üzerinde $D$, $\overset{\Huge\frown}{BC}$ küçük yayı üzerinde $DE \parallel AB$ olacak şekilde $E$ noktası alınıyor. $DE$ doğrusu ile $A$ ve $B$ merkezli çemberler ikinci kez sırasıyla $F$ ve $G$ noktalarında kesişsin.

• $AD^2 + BF^2$ toplamının $D$ nin seçiminden bağımsız olduğunu gösteriniz.
• $m(\overset{\Huge\frown}{AD}) = m(\overset{\Huge\frown}{DC})$ ise $FG/AB$ nedir?

[matematikolimpiyati]

Çözüm:

a)

Eş çemberlerin yarıçaplarına $R$ diyelim ve $AB$ doğrusunun $A$ merkezli çemberi $B$'den farklı kestiği nokta $H$ olsun.

$|FA|=|AB|=|BD|=R$ ve $DE // AB$ olduğundan $|FD|=R$ olur ve böylece $ABDF$'nin bir eşkenar dörtgen olduğunu söyleyebiliriz.

$\implies m(\widehat{DBA})=m(\widehat{FAH}) \implies \triangle{DBA} \cong \triangle{FAH} \implies |AD|=|HF|$

Aynı zamanda $A$ merkezli çemberde çapı gördüğü için $\angle{HFB}$ dik açıdır.

$HFB$ dik üçgeninde pisagordan $HF^2+BF^2=AD^2+BF^2=4R^2$ elde ederiz. Böylece istenen toplamın $D$ noktasının seçiminden bağımsız olduğu sonucuna ulaşırız.

b)

$m(\overset{\Huge\frown}{AD}) = m(\overset{\Huge\frown}{DC}) \implies m(\widehat{ABD})=m(\widehat{BDG})=30^{\circ}$ olur ve $BDG$ üçgeni $30^{\circ} - 30^{\circ} - 120^{\circ}$ açılarına sahip olup $|DG|=R\sqrt3$'tür.

$\dfrac{|FG|}{|AB|}=\dfrac{R+R\sqrt3}{R}=1+\sqrt3$ elde edilir.