Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 28

[Metin Can Aydemir]

Bir koordinat düzleminin orijininde bir bilye bulunmaktadır. $k$ verilmiş bir pozitif tam sayı olmak üzere, her hamlede eksenlerden biri seçiliyor ve bilye önce seçilen eksene paralel şekilde $k$ birim, sonra diğer eksene paralel şekilde $1$ birim öteleniyor. $k=4,7,10,29,42$ değerlerinin kaçı için bilye tam sayı koordinatlı istenilen herhangi bir noktaya taşınabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Squidward]

Cevap: $\boxed{C}$

$k$ tek olursa, bilyenin bulunduğu yerin apsis ve ordinatının paritesi aynı olur, her noktaya ulaşılamaz. $k=2m$ için $(0,0) \rightarrow (2m, 1) \rightarrow (2m-1, 2m+1) \rightarrow (2m-2, 1) \rightarrow \cdots \rightarrow (0,1)$ sol taraf çift iken sağ taraf $1$ olacağından yeterince kez yapılırsa sol taraf $0$ ve sağ taraf $1$ olup elde edilebilir dolayısıyla işlemin simetriği ya da kendisi uygulanarak her tam sayı koordinatlı noktaya ulaşılabilir, verilen $k$ değerlerinden çift olan $4, 10, 42$ için sağlar.