Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 32

[Metin Can Aydemir]

Aslı ve Zehra başlangıçta hiçbir köşesi boyalı olmayan bir düzgün $2n$-gen üzerinde bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor ve oyuncular sırayla hamle yapıyorlar. Sırası gelen oyuncuya boyalı olmayan bir köşeyi ya da çokgenin merkezine göre simetrik olan ve hiçbiri boyalı olmayan iki köşeyi boyuyor. Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $n=6,12,17,29,32$ değerleri için birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunların kaç tanesi kazanmayı garantileyebilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[llqrth]

Yanıt: $\boxed{B}$

Öncelikle verilen problemi şu soruya indirgeyelim: Her birinde $2$ top bulunan $n$ adet kutu veriliyor. Aslı ve Zehra, Aslı başlamak üzere herhangi bir kutudan sırayla $1$ ya da $2$ top alıyorlar. Hamle yapamayan kaybetmiş sayılıyor. $n=6,12,17,29,32$ değerlerinden kaç tanesi için Aslı kazanmayı garantileyebilir?

Sırası gelen oyuncu, her kutuda $1$ top varsa $n\equiv 0\pmod2$ durumunda kaybeder, $n\equiv 1\pmod2$ durumunda kazanır. $1$ kutuda $2$ top, diğerlerinde $1$ top varsa $n\equiv 0\pmod2$ durumunda $2$ top olan kutudan $1$ top alarak, $n\equiv 1\pmod2$ durumunda $2$ top alarak kazanır. $2$ kutuda $2$ top, diğerlerinde $1$ top varsa $n\equiv 0\pmod2$ durumunda kaybeder, $n\equiv 1\pmod2$ durumunda kazanır: $1$ kutuda $2$ top, diğerlerinde $1$ top varsa sırası gelen kaybeder bu yüzden her biri birer top alır. $2$ kutuda $2$ top kaldığında sırası gelen oyuncu kaybeder. ($1$ kutuda $2$ top diğerinde $1$ top bırakamaz. $2$ top alırsa da diğeri $2$ top alır ve oyunu sırası gelen kaybetmiş olur.) Benzer yaklaşımlarla tüm kutularda $2$ top olduğunda $n\equiv 0\pmod2$ durumunda başlayan kaybeder. $n\equiv 1\pmod2$ durumunda başlayan kazanır.