Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 29

[Metin Can Aydemir]

 Bir $A_1A_2\dots A_9$ düzgün dokuzgeninde $A_1A_5$ ie $A_2A_7$ doğruları $B$ noktasında, $A_1A_5$ ile $A_4A_8$ doğruları da $C$ noktasında kesişiyor. $[A_3B]$ üzerinde $m(\widehat{A_3A_2D})=15^\circ$ olacak şekilde bir $D$ noktası alınıyor. $A_7BC$ üçgeninin $BCD$ üçgeninin alanına oranı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{6}-\sqrt{2}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{C}$

Düzgün dokuzgenin bir iç açısı $140^\circ$'dir. Açıları yazarsak $A_1A_2B$, $A_4A_5C$ ve $A_5A_7B$ üçgenleri eşkenar üçgen elde edilir. Dokuzgenin bir kenarına $1$ diyelim (Oran bulacağımız için sorun olmaz). $|A_2B|=1$ olacaktır. Dolayısıyla $A_2BA_3$ ikizkenardır. Buradan $m(\widehat{A_2A_3B})=50^\circ$ elde edilir. Dolayısıyla $m(\widehat{A_2DB})=65^\circ$ olacaktır. $A_2BD$ ikizkenar olacağından $|BD|=1$ olacaktır. Benzer şekilde $m(\widehat{A_4A_3C})=50^\circ$ olacaktır. Buradan $m(\widehat{BA_3C})=40^\circ$ olur ve $BA_3C$ ikizkenar olacağından $m(\widehat{A_3BC})=70^\circ$ elde edilir. $|BC|=x$ dersek $|A_5A_7|=x+1$ elde edilir. $A_5A_6A_7$ $20-140-20$ üçgeni olduğundan $\cos{20^\circ}=\dfrac{x+1}{2}$ elde edilir. $$\dfrac{|A_7BC|}{|BCD|}=\dfrac{|A_7B||BC|\sin{60^\circ}}{|BD||BC|\sin{70^\circ}}=\dfrac{(x+1)\sqrt{3}}{2\cos{20^\circ}}=\sqrt{3}$$ bulunur.