Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 11

[Metin Can Aydemir]

$a$ ve $b$ gerçel sayılar olmak üzere, $$x^4-x^3+(a+b-2)x^2+(b-2a)x+ab$$ polinomunun $4$ farklı gerçel kökü varsa, $4a+b$ toplamı $\dfrac{5}{16}$, $\dfrac{7}{12}$, $\dfrac{7}{6}$, $\dfrac{17}{8}$ ve $\dfrac{5}{2}$ değerlerinden kaç tanesini alabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Verilen ifadeyi iki tane ikinci dereceden polinomun çarpımı olarak yazmaya çalışalım. Sabit terim $ab$ olduğundan $(x^2+mx+a)(x^2+nx+b)$ olarak ayıracağımızı tahmin edebiliriz. Bu ifadeyi açıp terimleri eşitlersek $m=1$ ve $n=-2$ bulunur. Yani ifadeyi $$(x^2+x+a)(x^2-2x+b)$$ olarak çarpanlarına ayırabiliriz. $4$ farklı gerçel kök olduğundan bu çarpanların ikişer tane farklı kökü olmalıdır. Yani diskriminantları pozitiftir. Buradan $1>4a$ ve $1>b$ bulunur. Taraf tarafa toplarsak $2>4a+b$ elde edilir. Verilen değerlerden $3$ tanesi bu şartı sağlar.

Not: Bu çözümde "Ya bu iki çarpanın ortak kökü varsa?" sorusu sorulabilir fakat toplam $2$'den net bir şekilde küçük olduğundan, sonsuz $(a,b)$ çifti olacaktır, bunların arasında ortak kök olmayacak şekilde $a$ ve $b$ reel sayılarını bulabileceğimiz barizdir. Ama tam kanıt istiyorsanız eşitliği sağlayan örnek $(a,b)$ çiftleri bulup ekleyebilirsiniz