Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 07  (Okunma sayısı 200 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 07
« : Temmuz 09, 2021, 03:12:42 ös »
Bir $\left (a_n \right)_{n=1}^{100}$ gerçel sayı dizisi $a_1=3$ ve her $n=1,2,\dots , 99$ için $$a_{n+1}=a_n+1-\dfrac{2}{n^2+n}$$ eşitliğini sağlıyorsa, $a_1+2a_2+\cdots +100a_{100}$ toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 335850
\qquad\textbf{b)}\ 338505
\qquad\textbf{c)}\ 338550
\qquad\textbf{d)}\ 383505
\qquad\textbf{e)}\ 383550
$
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 07
« Yanıtla #1 : Temmuz 09, 2021, 03:29:05 ös »
Cevap:$\boxed{C}$

Öncelikle $\dfrac{2}{n^2+n}$ ifadesini basit kesirlere ayıralım. $\dfrac{2}{n^2+n}=\dfrac{2}{n}-\dfrac{2}{n+1}$ olduğundan $$a_{n+1}-a_n=1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{2}{n+1}$$ olacaktır. $n\leq 99$ için $n$ yerine $1,2,\dots n$ yazıp taraf tarafa toplarsak $$a_{n+1}-a_1=n-\dfrac{2}{1}+\dfrac{2}{n+1}\Rightarrow a_{n+1}=n+1+\dfrac{2}{n+1}$$ elde edilir. Yani $n=1,2,\dots,100$ için $a_n=n+\dfrac{2}{n}$ olacaktır. $$\sum_{n=1}^{100}na_n=\sum_{n=1}^{100}(n^2+2)=200+\sum_{n=1}^{100}n^2$$ olacaktır. $\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ olduğundan istenilen toplam $200+\dfrac{100\cdot 101\cdot 201}{6}=338550$ elde edilir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal