Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05  (Okunma sayısı 441 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05
« : Temmuz 09, 2021, 03:11:37 ös »
Çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarı üstünde $|BD|=|EC|<|BE|$ olacak şekilde $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $|AB|=3|AD|+|AE|$ ve $|AC|=|AD|+3|AE|$ ise, $\dfrac{|BC|}{|DE|}$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05
« Yanıtla #1 : Temmuz 09, 2021, 05:37:43 ös »
Cevap:$\boxed{D}$

$|BD|=|EC|=a$ ve $|ED|=b$ diyelim. $|AD|=x$ ve $|AE|=y$ ise $|AB|=3x+y$ ve $|AC|=3y+x$ olacaktır. $ABE$ ve $ACD$ üçgenlerinde Steward teoreminden, $$\dfrac{b(3x+y)^2+ay^2}{a+b}-ab=x^2$$ $$\dfrac{b(3y+x)^2+ax^2}{a+b}-ab=y^2$$ olur. Taraf tarafa çıkartırsak, $$\dfrac{b\left ((3x+y)^2-(3y+x)^2\right )-a\left (x^2-y^2\right )}{a+b}=\dfrac{(8b-a)\left (x^2-y^2\right )}{a+b}=x^2-y^2\Longrightarrow \dfrac{8b-a}{a+b}=1\Rightarrow 7b=2a$$ elde edilir (Üçgen çeşitkenar olduğundan $x\neq y$ olur). Bizden istenilen oran, $\dfrac{2a+b}{b}=\dfrac{8b}{b}=8$ olur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05
« Yanıtla #2 : Temmuz 18, 2021, 06:02:52 ös »
Stewart yerine yükseklik ile alakalı formülü kullanarak da sonuca gidebiliriz.

$A$ dan $BC$ ye inilen yüksekliğin ayağı $H$ olsun.

$AB^2 - AC^2 = BH^2 - GC^2$ ve $AD^2 - AE^2 = DH^2 - HE^2$ eşitlikleri elde edilir. Taraf tarafa oranlarsak

$\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BH^2 - HC^2}{DH^2 - HE^2} = \dfrac{(BH+HC)(BH-HC)}{(DH+HE)(DH-HE)} = \dfrac{BC}{DE} \cdot \dfrac{(BD+DH) - (CE + EH)}{DH-EH}$

$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} $

$AB = 3AD + AE$ ve $AC = AD + 3AE$ eşitliklerini de yerine yazarsak $$\dfrac{BC}{DE} =  \dfrac{(4AD + 4AE)(2AD -2AE)}{AD^2 - AE^2} = 8 $$
« Son Düzenleme: Temmuz 23, 2021, 03:43:33 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı DrLucky

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 25
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05
« Yanıtla #3 : Temmuz 22, 2021, 05:15:15 ös »
$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} = 8$ elde ederiz.
Çözümler için teşekkürler.
Hocam bu satırda $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = 8$ olduğunu nereden bulduk?

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05
« Yanıtla #4 : Temmuz 22, 2021, 07:41:10 ös »
$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} = 8$ elde ederiz.
Çözümler için teşekkürler.
Hocam bu satırda $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = 8$ olduğunu nereden bulduk?

İlk çözümün resmindeki notasyonları kullanırsak, $(3x+y)^2-(3y+x)^2=8x^2-8y^2=8(x^2-y^2)$ olduğu için bunu diyebiliyoruz.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı DrLucky

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 25
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05
« Yanıtla #5 : Temmuz 22, 2021, 08:01:37 ös »
$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} = 8$ elde ederiz.
Çözümler için teşekkürler.
Hocam bu satırda $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = 8$ olduğunu nereden bulduk?

İlk çözümün resmindeki notasyonları kullanırsak, $(3x+y)^2-(3y+x)^2=8x^2-8y^2=8(x^2-y^2)$ olduğu için bunu diyebiliyoruz.

Tamamdır çok teşekkürler

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 05
« Yanıtla #6 : Temmuz 24, 2021, 12:23:10 ös »
$BD=CE$ eşitliğini kullanırsak $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = \dfrac{BC}{DE} = 8$ elde ederiz.
Çözümler için teşekkürler.
Hocam bu satırda $\dfrac{AB^2 - AC^2}{AD^2 - AE^2} = 8$ olduğunu nereden bulduk?

Eklendi.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal