Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 03

[Metin Can Aydemir]

Pozitif tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}^+$ ile gösterilmek üzere, bir $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ fonksiyonu $f(1)=1$ ve her $n\in \mathbb{Z}^+$ için $$f(7n+1)=f(n), \quad f(7n+2)=2f(n), \quad f(7n+4)=4f(n)$$ eşitliklerini sağlamaktadır. Buna göre $f(3900)$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 16
\qquad\textbf{b)}\ 32
\qquad\textbf{c)}\ 64
\qquad\textbf{d)}\ 128
\qquad\textbf{e)}\ 256
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$3900=7\cdot 557+1$ olduğundan $f(3900)=f(557)$ bulunur.
$557=7\cdot 79+4$ olduğundan $f(557)=4f(79)$ bulunur.
$79=7\cdot 11+2$ olduğundan $f(79)=2f(11)$ bulunur.
$11=7\cdot 1+4$ olduğundan $f(11)=4f(1)=4$ bulunur. Buradan $f(3900)=f(557)=4f(79)=8f(11)=32$ elde edilir.