Bu soruda belirttiğim şakayla karışık Aydemir Lemmasını hatırlatalım.
Aydemir Lemması: Bir $ABC$ üçgeninde $A$'dan geçen $2$ doğru, $A$ açısını $3$ açıya ayırıyor. Bu doğruların $[BC]$ kenarını kestiği noktalar $D$ ve $E$ olsun ($D$ noktası $B$ ve $E$'nin arasında olacak şekilde). $|BD|=x$, $|DE|=y$, $|EC|=z$ ve $m(\widehat{BAD})=\alpha$, $m(\widehat{DAE})=\beta$, $m(\widehat{EAC})=\theta$ ise, $$\frac{\sin{\beta}\sin{(\alpha+\beta+\theta)}}{\sin{\alpha}\sin{\theta}}=\frac{y(x+y+z)}{xz}$$ sağlanır.
Bunu $ABC$ ve $AKN$ üçgenlerinde uygulayacağız, $m(\widehat{BAD})=\alpha$, $m(\widehat{DAE})=\beta$, $m(\widehat{EAC})=\theta$ dersek, bu açılar ortak olduğundan $$\frac{\sin{\beta}\sin{(\alpha+\beta+\theta)}}{\sin{\alpha}\sin{\theta}}=\frac{|DE|\cdot |AB|}{|AD|\cdot |EC|}=\frac{|LM|\cdot |KN|}{|KL|\cdot |MN|}$$ olacaktır. $|AD|=|DE|=|EC|$ olduğundan $$\frac{|DE|\cdot |AB|}{|AD|\cdot |EC|}=3=\frac{q(p+q+r)}{pr}\implies q(p+q+r)=3pr$$ olacaktır. $q\mid 3pr$ olduğundan $q=3,p,r$ olabilir.
$q=3$ ise $p+r+3=pr$ olduğundan $$pr-p-r+1=(p-1)(r-1)=4\implies (p,r)=(5,2),(2,5),(3,3)$$ yani $(p,q,r)=(2,3,5),(5,3,2),(3,3,3)$ olur.
$q=p$ ise yerine yazarsak $p=q=r$ elde edilir. Benzer şekilde $q=r$ ise de aynı çözüm elde edilir. Yani tüm durumlar $(p,q,r)=(p,p,p),(5,3,2),(2,3,5)$'dir. Bunların sağlamasını da yapabiliriz. $p=q=r$ durumunda yeteri kadar büyük bir $ABC$'de $KN$ doğrusunu $BC$'ye paralel seçersek elde edebiliriz. $(5,3,2)$ veya $(2,3,5)$ durumunda ise $AD$ (veya $AE$) doğrusu üzerinde $AD$ (veya $AE$) kenarortay olacak şekilde bir $AKN$ üçgeni inşa edebiliriz. Bunu görmek için $N$'yi $A$'dan başlatarak hareket ettirebiliriz, bu durumda $K$ noktası sonsuzdan $A$'ya hareket eder, arada bir noktada kenarortaylık sağlanacaktır.
