2017 İngiltere 1. Tur Sorusu - Dik Açı İspatı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem: $m(\widehat{A})< m(\widehat{B})<90^\circ$ olan $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ olsun. $\Gamma$ nın $A$ ve $C$ deki teğetleri $P$ de kesişiyor. $AB$ ve $PC$ doğruları $Q$ da kesişiyor.
$$ [ACP] = [ABC] = [BQC] $$
veriliyor. Buna göre, $m(\widehat{BCA})=90^\circ$ olduğunu kanıtlayınız. Burada $[XYZ]$, $XYZ$ üçgeninin alanını göstermektedir.


Kaynak: 2 Aralık 2016 tarihinde yapılan, 2017 British Mathematical Olympiad 1. Tur geometri sorusudur.

[Metin Can Aydemir]

$m(\widehat{ABC})=\alpha$ ve $m(\widehat{BAC})=\beta$ diyelim. Teğetlikten dolayı $m(\widehat{PAC})=\alpha$ olacaktır. Eğer $m(\widehat{ACB})=90^{\circ}$ olduğunu göstermek istiyorsak $\alpha+\beta=90^{\circ}$ olduğunu, dolayısıyla $m(\widehat{PAB})=90^{\circ}$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. $|PA|=|PC|=x$ diyelim. Taban-Alan ilişkisinden, $$\dfrac{|PC|}{|QC|}=\dfrac{\left [ PAC \right ]}{\left [ CAQ \right ]}=\dfrac{\left [ PAC \right ]}{\left [ CAB \right ]+\left [ CBQ \right ]}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow |CQ|=2x$$ bulunur. Aynı zamanda $\left [ ABC \right ]=\left [ BCQ \right ]$ olduğundan $|BQ|=|AB|$ olur. $|BQ|=y$ için çemberde kuvvetten, $$|QC|^2=|BQ||AQ|\Rightarrow 4x^2=2y^2\Rightarrow y=x\sqrt{2}$$ bulunur. Artık $PAQ$ üçgeninin tüm kenar uzunluklarını biliyoruz. $|PA|=x$, $|AQ|=2x\sqrt{2}$ ve $|PQ|=3x$ olduğundan ve $x^2+\left (2x\sqrt{2} \right )^2=(3x)^2$ sağladığından $PAQ$ dik üçgendir. Dolayısıyla $m(\widehat{PAQ})=90^{\circ}$ bulunur. Başta da izah ettiğimiz gibi $m(\widehat{PAQ})=m(\widehat{PAB})=90^{\circ}$ olduğundan $m(\widehat{ACB})=90^{\circ}$ olmalıdır.