Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 28

[Uygar ÖZTÜRK]

Her birinin uzunluğu 1 olan $n$ tane kapalı doğru parçasının bileşimi $[0,28]$ doğru parçasına eşittir. Bu doğru parçalarının her birinde, diğer $n-1$ doğru parçasının hiçbirinde bulunmayan en az bir nokta varsa, $n$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 28 \qquad\textbf{b)}\ 34  \qquad\textbf{c)}\ 41 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 54$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$n=54$ durumuna örnek verelim. $\left [ 0,1 \right ]$, $\left [ \dfrac{1}{4}, 1\dfrac{1}{4}\right ]$, $\left [1,2 \right ]$, $\left [ 1\dfrac{1}{4}, 2\dfrac{1}{4}\right ]$, $\left [ 2,3\right ], \dots, \left [ 25, 26\right ]$, $\left [ 25\dfrac{1}{4}, 26\dfrac{1}{4}\right ]$, $\left [ 26,27\right ]$, $\left [ 26\dfrac{3}{4}, 27\dfrac{3}{4}\right ]$, $\left [ 27,28\right ]$ aralıkları istenen özelliktedir.

Seçeneklerde $54$ ten daha büyük bir değer olmadığı için bu örnek şimdilik yeterlidir. $n>54$ olamayacağının ispatını bulursak çözüme ekleyelim.


Not: Bu verdiğimiz örneğe göre genel olarak, $[0,m]$ aralığı için istenen özellikte $2(m-1)$ tane doğru parçasının seçilebileceği görülmektedir. ($m>2$ bir tam sayı).

[Kerem123]

En çok aralık sayısını bulmak için isteneni sağlamayacak en uç durum düşünülmelidir. Bu durum söyle bulunabilir: 0<n<1 olacak şekilde bir sayı seçeriz. Bu sayıyı bu aralıkta seçme sebebimiz en çok dediğinden dolayı istenenin olmayacağı en çok aralık sayısını bulmaktır. İlk başta 0dan itibaren başlayan aralıklar bulunmalıdır. [0,1],[1,2],...,[27,28] bunlar bu aralıklardır. Şimdi belirlediğimiz n sayısından ki aralıları yazalım. [n,n+1],[n+1,n+2],...,[n+26,n+27] bu aralıklardır. Şuan toplam 55 aralık var fakat bu isteneni vermez çünkü yazdığımız aralıklardan en son ve en baştaki aralık dışındaki her aralık birbirinin içinde bulunur. Yani en son ve en baştaki aralıklar dışındaki herhangi bir aralığı seçersek diğer aralıklarda bulunmayıp kendisinde bulunan en az 1 nokta yoktur bu durumda istenen sağlanmaz. 55 den daha fazla yazamayız çünkü aralıkların uzunlukları 1dir. İsteneni elde etmek için en sondaki aralık çıkarılıp geriye kalan aralıklar aralarındaki fark 1-n/27 den küçük olacak şekilde kaydırırsak istenen aralık oluşur. Lokman hocamızın verdiği örnekle bunun sağlanabileceğini görebiliriz.

[DrLucky]

Doğru parçalarını soldan sağa doğru her yeni parça bir solundakinin orta noktasından başlayacak şekilde seçersek:  [0,1] [1/2,3/2] [2,3] [5/2,7/2],......,[53/2,55/2 ] [27,28] 55 tane doğru parçası çizmiş oluruz ancak şart sağlanmaz. Her iki doğru parçasının iç içe geçmiş kısımları 1/2'den büyük ise de şartın sağlanmayacağı bu örnek üzerinden görülebilir. Dolayısıyla n ≤ 54 olmalıdır.