Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 18  (Okunma sayısı 882 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 18
« : Eylül 01, 2020, 10:43:59 ös »
$n^{4}+2 n^{3}+4 n^{2}+4 n-62$ ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan $n$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 5
$
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı Uygar ÖZTÜRK

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 35
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 18
« Yanıtla #1 : Eylül 06, 2020, 11:13:19 ös »
Yanıt: $\boxed{A}$

İfade bir tam kare olsun ve bu tam kare $a^2$ olsun. İfadeyi $\displaystyle{(n^2+n-7)(n^2+n+9)=(a-n-1)(a+n+1)}$ biçiminde yazalım. Birkaç deneme-yanılma ile $n$ nin alabileceği değerler $-9,3,7$ olarak bulunur. Rahatlıkla $A$ seçeneğini işaretleyebiliriz. Orijinal çözüm nasıl bilmiyorum ama bunu ileri götürerek ifadenin sol tarafındaki çarpanların arasındaki fark $16$ olduğu kullanılarak veya Obeb-Okek ile bir ispat yapılabilir. Zaman bulunca ispatını ekleyeceğim ama benden erken orijinal çözüm ekleyen olursa çok iyi olur tabi :)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 18
« Yanıtla #2 : Eylül 06, 2020, 11:26:19 ös »
Yanıt:$\boxed{A}$

İki ardışık tamkare arasında tamkare sayı bulunamaz teoreminden yardım alalım.

$(n^2+n+1)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62<(n^2+n+2)^2$ olursa çelişki olur ve asla tamkare olamaz.

eşitliğin sağ tarafı düzenlenirse $n^2+66>0$ yani daima sağlanır. O halde

$(n^2+n+1)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62$ eşitsizliğinin sağlanmamasını istiyoruz.

$(n^2+n+1)^2\ge n^4+2n^3+4n^2+4n-62$

$n^4+2n^3+3n^2+2n+1 \ge n^4+2n^3+4n^2+4n-62$  yani

$n^2+2n-63\le 0 $ bulunur.

Bu eşitsizlik çarpanlarına ayırılarak çözülürse $-9\le n \le 7 $ bulunur. Modüler aritmetik de göz önüne alınarak hızlıca denenirse $-9,3,7$ çözümleri bulunur.

Bu sorunun benzeri olması açısından  $2,36 ,76, 133 $ numaralı sorular incelenebilir.

https://geomania.org/forum/index.php?topic=6419.0

« Son Düzenleme: Eylül 06, 2020, 11:31:32 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 18
« Yanıtla #3 : Ekim 14, 2020, 05:29:06 ös »
Merhaba Atakan, $ - 9\leq n \leq 7$ aralığını hangi modlarda incelediğini biraz daha açabilir misin?

$f(n)=y^2 = n^4 + 2n^3 + 4n^2 +4n-62$ denirse yukarıdaki işlemlerden $f(n)= y^2 = (n^2 +n+1)^2 + (n+9)(n-7)$ olduğu görülüyor. Buradan $f(-9)=73^2$ ve $f(7)=57^2$ kolayca görülüyor. $f(3)=13^2- 48 = 121=11^2$ oldu. Aradaki diğer değerleri direkt denemek pek pratik olmayacak.
« Son Düzenleme: Ekim 14, 2020, 05:52:39 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 18
« Yanıtla #4 : Haziran 12, 2021, 03:38:07 ös »
Atakan'ın yaptığı şekilde aralığa sokmaya çalışalım fakat farklı olarak $$(n^2+n)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62<(n^2+n+2)^2$$ eşitsizliğini elde etmeye çalışalım. Bu eşitsizlik sağlanırsa $n^4+2n^3+4n^2+4n-62=(n^2+n+1)^2$ olmak zorunda olacaktır. Yukarıdaki çözümlerde eşitsizliğin sağ tarafının her zaman sağlandığı gösterilmiştir. Sol tarafına bakarsak, $$(n^2+n)^2<n^4+2n^3+4n^2+4n-62\Longleftrightarrow 3n^2+4n-62>0$$ Dolayısıyla istediğimiz eşitsizlik sadece $3n^2+4n-62\leq 0$ iken sağlanılmaz. Bu ikinci dereceden polinomun kökleri $x_1<x_2$ ise $[x_1,x_2]$ aralığı bu polinomu $0$ veya negatif yapar. $n=-6$ ve $n=4$ için ifade pozitiftir fakat $n=-5$ ve $n=3$ için negatiftir o yüzden $n\notin \{-5,-4,\dots, 2,3\}$ için en başta düşündüğümüz eşitsizlik sağlanır ve $n^4+2n^3+4n^2+4n-62=(n^2+n+1)^2$ olur. Buradan $n^2+2n-63=(n+9)(n-7)=0$ bulunur ve $n=-9$, $n=7$ çözümleri bulunur.

Geriye $\{-5,-4,\dots, 2,3\}$ aralığını denemek kalır. Eğer $n$ çiftse $n^4+2n^3+4n^2+4n-62\equiv 2\pmod{4}$ olacağından tamkare olamaz. $n$ tek sayısı için $n^2\equiv 1\pmod{8}$ ve $4n^2+4n\equiv 0\pmod{8}$ olacağından $$n^4+2n^3+4n^2+4n-62\equiv n^2+2n+2\equiv (n+1)^2+1\pmod{8}$$ Eğer ifade tamkareyse $8$ modunda $1$ kalanı vermelidir (tek sayı olacağı barizdir). O yüzden $(n+1)^2\equiv 0\pmod{8}$ olmalı. Yani $n+1\equiv 0\pmod{4}$ olmalıdır. Buradan incelememiz gereken değerler $\{-5,-1,3\}$ kalır. Bunları incelersek $n=3$ için tamkare olur. Toplam $-9+7+3=\boxed{1}$'dir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal