Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 14

[Eray]

Her $n \geq 1$ için $a_{n+1}=a_{n}^{3}+1799$ koşulunu sağlayan bir $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ pozitif tam sayı dizisinde en az iki tam kare bulunuyorsa, $a_{2020}$ sayısının $28$ ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 22
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{D}$

Diziyi $7$ modunda inceleyelim: $\displaystyle{a_2 \equiv 0,1,6(\bmod7)}$ olabilir ve geri kalan terimler de onun aldığı değeri alabilir, çünkü $1799$, $7$ ile kalansız bölünür. $7$ ile bölümünden kalan bu 3 değerden biri olan herhangi bir sayı $28$ ile bölümünden $2$ kalanını veremez.

$\displaystyle{a_i=a_{i-1}^3+1799}$ ve $a_i$ tam kare olsun. Bir tam sayının kübünün $7$ modunda alabileceği değerler $0,1,6$ ve bir tam sayının karesinin $7$ modunda alabileceği değerler $0,1,2,4$ dir, denklik sağlanması için bahsi geçen sayının $7$ ile bölümünden $6$ kalanını vermemesi gerekir. Dolayısıyla $28$ ile bölümünden kalan $6$ da olamaz.

Eğer $a_i$, $7$ ile kalansız bölünüyorsa $49$ ile de kalansız bölünecektir (tam kare olduğu için). $\displaystyle{1799 \equiv -14(\bmod49)}$ olduğundan $\displaystyle{a_{i-1}^3 \equiv 14(\bmod49)}$ olmalıdır ki denklik sağlansın ancak bir tam küp verilen denkliği sağlamaz, çelişki.

$22$ şu şekilde olabilir: İlk terim: $a_1=5^2$ olarak alınırsa ikinci terim $a_2=132^2$ olur, en az $2$ tam kare terim şartı sağlanır ve $\displaystyle{a_{2020} \equiv 22(\bmod28)}$ olur.