Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 13

[Eray]

Bir $A B C$ üçgeninin sırasıyla $[A B]$ ve $[A C]$ kenarları üzerinde alınan $K$ ve $L$ noktaları için $|A K|=12$, $|B K|=16$ ve $|C L|=6$'dır. $[B C]$ kenarı üzerinde $D$ ve $E$ noktaları $E \in[D C]$ ve $|B D|=|D E|=|E C|$ olacak şekilde alınıyor. $m(\widehat{B K E})=m(\widehat{C L D})$ ise, $|A L|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 11
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 14
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$[KE]$'ye $C$'den çizilen paralel $[AB]$'yi $X$'de kessin. $BKE$ ile $BXC$ benzer olacağından $|BX|=24$, $|AX|=4$ olur, ayrıca paralel olduklarından dolayı $m(\widehat{BKE})=m(\widehat{BXC})$ olur. $B$'den $[DL]$'ye paralel çizelim ve $[AC]$'yi $Y$'de kessin. Benzer şekilde $CLD$ ile $CYB$ benzer üçgenlerdir ve benzerlikten $|CY|=9$, paralellikten $m(\widehat{CLD})=m(\widehat{CYB})$ bulunur.

$m(\widehat{CXB})=m(\widehat{CYB})$ olduğundan $BXYC$ kirişler dörtgenidir. $A$ noktasından kuvvet alınırsa, $$|AX|\cdot |AB|=|AY|\cdot |AC|\Rightarrow 4\cdot 28 = |AC|\left (|AC|-9\right ) \Rightarrow |AC|=16 $$ bulunur. $|CL|=6$ olduğundan $|AL|=10$ bulunur.