Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 08  (Okunma sayısı 551 defa)

Çevrimdışı Uygar ÖZTÜRK

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 35
  • Karma: +0/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 08
« : Eylül 01, 2020, 01:47:26 ös »
$N$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $a_1, a_2, \cdots, a_k$ pozitif tam sayıları $N=a_1 +a_2 +\cdots +a_k$ ve her $1\leq i\leq k$ için $\displaystyle{a_i=a_{k+1-i}}$ koşullarını sağlıyorsa, $(a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_k)$ sıralı $k$-lisine $N$'nin bir $\textit{simetrik dağılımı}$ diyelim. Örneğin, $(5), (2,1,2)$ ve $(1,1,1,1,1)$ sıralılarının her biri $5$'in bir simetrik dağılımıdır. Buna göre $28$ sayısının kaç farklı simetrik dağılımı vardır?

$\textbf{a)}\ 12842 \qquad\textbf{b)}\ 13174 \qquad\textbf{c)}\ 14312 \qquad\textbf{d)}\ 15968 \qquad\textbf{e)}\ 16384$
« Son Düzenleme: Haziran 15, 2021, 01:43:55 ös Gönderen: metonster »

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 504
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 08
« Yanıtla #1 : Eylül 06, 2020, 04:10:28 öö »
Cevap: $\boxed{E}$

Tüm terimler pozitif olduğundan dolayı $k$, $28$'den büyük olamaz. Şimdi incelemeye geçelim.

i) $k=2m$ ise $14\geq m\geq 1$ olur. Ayrıca $a_i=a_{2m+1-i}$ olduğundan $$a_1+a_2+\dots+a_m+a_{m+1}+\dots+a_{2m}=2(a_1+a_2+\dots+a_m)=28$$ $$\Rightarrow a_1+a_2+\dots+a_m=14$$ bulunur. Tüm terimler en az $1$ olacağından, dağılım formülünden $\left( \begin{array}{c} (14-m)+m-1 \\ m-1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 13 \\ m-1 \end{array} \right)$ farklı dağılım bulunur. $m$, $1$ ile $14$ arasındaki herhangi bir tamsayı olduğundan toplam durum $$\sum_{m=1}^{14} \left( \begin{array}{c} 13 \\ m-1 \end{array} \right)=2^{13}$$ bulunur.

ii) $k=2m-1$ ise benzer şekilde $14\geq m\geq 1$ olur. $$a_1+a_2+\dots+a_{m-1}+a_m+a_{m+1}+\dots+a_{2m}=2(a_1+a_2+\dots+a_{m-1})+a_m=28$$ bulunur. $a_m$ çift olmalıdır. $a_m=2n$ için $$a_1+a_2+\dots+a_{m-1}+n=14$$ bulunur. İlk şıktakinin aynısı bir durum olduğundan burada da toplam durum $2^{13}$'dür.

Her iki durumda da $2^{13}$ dağılım olduğundan toplamda $2^{13}+2^{13}=2^{14}=16384$ simetrik dağılım vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal