Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 05

[Uygar ÖZTÜRK]

Düzgün bir $ABCDEF$ altıgeninin $[DE]$ kenarı üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. Alan$(PAB)=60$ ve Alan$(PBC)=44$ ise, Alan$(PAF)$ kaçtır?

$\textbf{a)}\  46 \qquad\textbf{b)}\ 48    \qquad \textbf{c)}\ 50    \qquad \textbf{d)}\ 52   \qquad\textbf{e)}\  54$

[Kerem123]

Altıgenin etrafına AF, ED ve BC kenarlarından geçecek şekilde eşkenar üçgen çizelim . Altıgenin bir kenarı a olursa üçgenin bir kenarının 3a olduğunu görmek zor değildir bu durumda eşkenar üçgende FA kenarının
Uzantısı olan kısım da a olur. Bu kenara indirilen dikin ayağına Q diyelim Aynı şekilde BC kenarının uzantısı olan kısmına üzerine dik indirip ayağına R diyelim 30 60 90 üçgeni den  |PQ|+|PR|=3akök3/2 olur. Aynı zamanda PAB üçgeninde AB kenarı üzerine indirilen dike h dersek h BD kenarına eşit olacağından h= akök3 olur (Çünkü BD DE kenarını dik keser 30 60 90 üçgeninden BD=h=akök3 olur.). Buradan da A(PBC) +A(PAF) = A(PAB) 3/2 =90 olur yani A(PAF) = 46 dır

[geo]

Yanıt: $\boxed {A}$

$AB \parallel CF \parallel DE$ olduğu için $\text{Alan} (PFABC) = \text{Alan}(EFABC)$ ve $\text{Alan}(PAB) = \text{Alan}(BEA) = 60$.
Basit hesaplamalarla ($BE = 2\cdot AF$ ve $BE \parallel AF$) $\text{Alan}(BEC) = \text{Alan} (BEA) = 2\cdot \text{Alan}(AFE) = 60$, $\text{Alan}(PFABC) = \text{Alan}(EFABC) = 150$ ve $\text{Alan}(PAF) = 46$.

[Lokman Gökçe]

Genel halde, düzgün altıgendeki bazı alan bağıntılarını ifade edelim.

$Alan(ABCDEF) = 6S$ olsun. $Alan(BCD)=Alan(AFE)=S$ ve $Alan(ABDE) = 4S$ dir. Böylece $Alan(ABP)=\dfrac{1}{2}Alan(ABDE) = 2S$ elde edilir. Yine $Alan(PEF) + Alan(PDC) = Alan(PEC) + Alan(PDC) = Alan(CDE) = S$ dir. Buradan $Alan(ABCPF)= 5S $ olup $Alan(PAF) + Alan(PBC) = 3S$ bulunur.

Bu alan eşitliklerini kullanarak $S=30$ bulunur. $Alan(PAF)=x$ denirse $x + 44 = 3S = 90$ eşitliğinden $x=46$ sonucuna ulaşılır.

Not: Ayrıca bu soru ile benzer fikirlere sahip olan Düzgün altıgen ve alan başlıklı soruyu sitemizde sorup çözmüştük.