Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 01

[Uygar ÖZTÜRK]

$m(\widehat{ABC})=135^\circ$ olan bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $[OC]$ doğru parçası üzerindeki bir $D$ noktası için $m(\widehat{DBA})=90^\circ$ ve $m(\widehat{ADO})=70^\circ$ ise, $m(\widehat{BAC})$ nedir?

$\textbf{a)}\ 20^\circ \qquad\textbf{b)}\ 25^\circ  \qquad\textbf{c)}\ 30^\circ \qquad\textbf{d)}\ 35^\circ \qquad\textbf{e)}\ 40^\circ$

 

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{B}$

$BD$ doğrusunun $[AC]$ kenarını kestiği nokta $E$ olsun. Çemberde açıları yazarsak $m(\widehat{AOC})=90^\circ$ olur ve $AODB$ kirişler dörtgeni olduğu görülür. $m(\widehat{OAD})=20^\circ$ ise $m(\widehat{OBD})=20^\circ$ olur. $OB$ ve $OC$ yarıçap olduğundan $OBC$ ikizkenar üçgendir. $m(\widehat{BOC})=50^\circ$ olduğundan $m(\widehat{BAC})=25^\circ$ olarak bulunur.

[idensu]

resim olarak destekleyim dedim.

[Lokman Gökçe]

Açı takibi ile $m(\widehat{ACO}) = m(\widehat{CAO}) = 45^\circ$, $m(\widehat{DAO}) = 20^\circ$ ve $m(\widehat{CAD}) = 25^\circ$ dir. $ABD$ üçgeninde $C$ noktasının bir dış teğet çember merkezi oluğunu gösterelim. $[BC$ bir dış açıortaydır. Ayrıca $m(\widehat{ACD})= \dfrac{1}{2}m(\widehat{ADB})$ sağlandığından $C$ noktası $ABD$ üçgeninin $A$ noktasına göre dış teğet çemberinin merkezidir. O halde $[AC$ bir iç açıortay olup $m(\widehat{BAC})=m(\widehat{DAC})=25^\circ $ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Açı takibi ile $m(\widehat{DAC}) = 25^\circ $ dir. $BD$ ve $AO$ doğrularının kesişimi $E$ olsun. $m(\widehat{ABE}) = 90^\circ $ olduğundan $E$ noktası çevrel çember üzerindedir. $CO \perp AE$ olduğundan, $CO$ doğrusu $ACE$ ikizkenar dik üçgeninin simetri ekseni olur. Böylece $m(\widehat{DEC}) = m(\widehat{DAC}) = 25^\circ $ dir. Çevre açılardan, $ m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BEC}) = 25^\circ $ elde edilir.