Çözümde Çin Kalan Teoremi ve Lagrange Teoremi'ni kullanacağız. Bunu paylaşalım.
Çözüm 2: $2020=4 \cdot 5 \cdot 101$ olduğundan
$$n^4-1\equiv (n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{4} \tag{1}$$
$$n^4-1\equiv (n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{5}\tag{2}$$
$$n^4-1\equiv (n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{101}\tag{3} $$
denkliklerini çözmeliyiz.
$(1)$ in çözümleri için $n \equiv -1, 0, 1, 2 \pmod{4}$ denenirse $n \equiv \mp 1 \pmod{4}$ çözümleri bulunur.
$(2)$ nin çözümleri için $n \equiv -2,-1, 0, 1, 2 \pmod{5}$ denenirse $n \equiv \mp 1, \mp 2 \pmod{5}$ çözümleri bulunur. Elbette bu aşamada $(n,5)=1$ iken $n^4\equiv 1 \pmod{5}$ Fermat teoremi de uygulanabilir. Yine $4$ çözüm gelir.
$(3)$ ün çözümleri için $n \equiv -1, 1 \pmod{101}$ değerlerinin denkliği sağladığı görülüyor. $n^2 +1 \equiv 0 \pmod{101}$ denkliğini çözmeliyiz. Bunun için de $n^2 -100 \equiv 0 \pmod{101}$ yazıp iki kare farkı özdeşliği kullanılırsa $n \equiv -10, 10 \pmod{101}$ çözümleri bulunur. $m$-inci dereceden polinomum asal bir modda en fazla polinmum derecesi kadar kökü vardır (Lagrange). Bu durumda da toplam $4$ kök buluruz ve Lagrange Teoremi'nden dolayı daha fazla da kök olamaz.
Çin kalan teoreminden dolayı $n^4-1\equiv 0 \pmod{2020}$ denkliğinin $2 \cdot 4 \cdot 4 =32$ farklı çözümü vardır.