Gönderen Konu: İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği {çözüldü}  (Okunma sayısı 1631 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3238
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği {çözüldü}
« : Aralık 26, 2019, 12:33:53 öö »
Birçok klasik eşitsizliğin integraller için verilmiş formları vardır. Sanırım bunlardan en temeli üçgen eşitsizliğidir.

Üçgen Eşitsizliği: $x,y \in \mathbb R $ ise $|x+y| \leq |x| + |y|$ dir.


İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği: $f:[a,b] \to \mathbb R $ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında integ­rallenebilir olsun. Bu durumda

$$\left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| \leq \int_{a}^{b}\left|f(x) \right| dx$$
olur.

Bunlar birbirine pek benzemedi değil mi? Biz integraller için üçgen eşitsizliğini ispatlayalım.

İpucu: Klasik üçgen eşitsizliğimiz, integral formundaki eşitsizliğin ispatında belki lazım olur. (Yoksa sadece isim benzerliği mi var?)
« Son Düzenleme: Aralık 31, 2019, 01:45:32 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3238
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği
« Yanıtla #1 : Aralık 31, 2019, 01:38:00 öö »
İspat: $a_1, a_2, \dots ,a_n$ gerçel sayıları için $$ | a_1+a_2 + \dots + a_n | \leq |a_1| + |a_2| + \dots + |a_n| $$ üçgen eşitsizliğini biliyoruz. (Klasik üçgen eşitsizliğine tümevarım uygulanarak ispatlanabilir. Meraklılarının bunu denemesinde fayda var.)

$[a,b]$ aralığının bir parçalanışı $[x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots , [x_{n-1}, x_n]$ ve $|P|=\max \{ x_i - x_{i-1} : i=1,2,\dots , n \}  $ olsun. Her $  i=1,2,\dots , n $ için bir $x_i' \in [x_{i-1},x_i]$ noktası alarak $$ \sum_{i=1}^{n}f(x_i')(x_i - x_{i-1}) = \sum_{i=1}^{n}f(x_i')\Delta x_i $$ Riemann toplamını oluşturalım. Üçgen eşitsizliğinden, limit özelliklerinden ve $f$ integrallenebilir iken $|f|$ nin de integrallenebilir oluşundan $$ \left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| = \left| \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^{n}f(x_i')\Delta x_i \right| \leq \lim_{|P|\to 0} \sum_{i=1}^{n} \left |f(x_i') \right |\Delta x_i =  \int_{a}^{b} \left| f(x) \right| dx $$ elde edilir.


Birçok eşitsizliğin geometrik yorumunu vermekte, öğretme yöntemi bakımından büyük yarar var. Biz de bu kısmı pas geçmeyelim. Çok temel bir gerçekten hareket edilerek bu eşitsizlik elde edilmiştir.

Geometrik Yorumu: $f$ fonksiyonunun grafiği ile $x$ ekseninin sınırladığı bölgelerden; $x$ ekseninin üstünde kalan alanların toplamı $A_1$, $x$ ekseninin altında kalan alanların toplamı $A_2$ olmak üzere  $$ \left| \int_{a}^{b} f(x)dx \right| = |A_1-A_2|$$ ve $$ \int_{a}^{b}\left|  f(x) \right| dx = A_1+A_2 $$ olup integral eşitsizliği, $$ |A_1-A_2| \leq A_1 + A_2 $$ alan eşitsizliğine denktir.


Uyarı: $f$ integrallenebilir iken $|f|$ fonksiyonunun da integrallenebilir olduğunu bir teorem olarak kullandık. Bunun ispatını da başka bir zaman verebiliriz. Forumda bu teoremle ilgili şuraya bir başlık açtım.
« Son Düzenleme: Mayıs 13, 2020, 01:29:10 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3238
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: İntegraller İçin Üçgen Eşitsizliği {çözüldü}
« Yanıtla #2 : Mayıs 13, 2020, 03:36:12 öö »
Mehmet Toktaş bey'in hatırlatması üzere integraller için üçgen eşitsizliği ile ilgili şunları da yazabiliriz:

Teorem: $f$ ve $g$, $[a,b]$ aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun.
$$\left |\int_a^b(f(x)+g(x))dx\right|\leq \left |\int_a^bf(x)dx\right|+\left |\int_a^bg(x)dx\right| \tag{1}$$
$$ \int_a^b\left|f(x)+g(x)\right|dx \leq \int_a^b\left|f(x)\right|dx+\int_a^b\left|g(x)\right|dx \tag{2}$$
eşitsizlikleri vardır.

Bu eşitsizliklerin de ispatlarını sunalım:

İspat: $(1)$ eşitsizliği ile başlayalım: $|x+y| \leq |x| + |y|$ üçgen eşitsizliğinde $x$ yerine $$\int_{a}^{b}f(x)dx$$ $y$ yerine de $$\int_{a}^{b}g(x)dx $$ yazılırsa, $$ \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx = \int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx$$ lineerlik özelliğini de kullanarak

$$ \left| \int_{a}^b (f(x)+g(x))dx \right| = \left| \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx\right| \leq  \left| \int_{a}^{b}f(x)dx \right| + \left| \int_{a}^{b}g(x)dx  \right|$$

bulunur.

Şimdi de $(2)$ eşitsizliğine bakalım: $|x+y| \leq |x| + |y|$ üçgen eşitsizliğinde $x$ yerine $f(x)$, $y$ yerine de $g(x)$ yazılırsa $|f(x)+g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)|$ olup $$\int_{a}^{b} |f(x) + g(x)| dx \leq \int_{a}^{b} \left(|f(x)| + |g(x)|\right) dx = \int_{a}^{b} |f(x)| dx + \int_{a}^{b} |g(x)|dx$$ elde edilir.

Ayrıca bu son adımda her $x\in [a,b]$ için $h(x)\leq k(x)$ ise $$\int_a^{b}h(x)dx \leq \int_a^{b}k(x)dx $$ eşitsizliğini de ispatsız olarak kullanıyoruz. (Konunun meraklılarının bu eşitsizliği de alıştırma olarak ispatlamalarında fayda var.)
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal