Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 31

[Lokman Gökçe]

$b$, bir pozitif tam sayı ve $( \text{ }\text{ })_b$ sayıların $b$ tabanına göre gösterimi olmak üzere $(12)_b \cdot (15)_b \cdot (16)_b = (3146)_b $ ise, $(12)_b + (15)_b + (16)_b$ sayısının $10$ tabanındaki karşılığı nedir?

$\textbf{a)}\ 37 \qquad\textbf{b)}\ 40  \qquad\textbf{c)}\ 43 \qquad\textbf{d)}\ 48 \qquad\textbf{e)}\ 54 $

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Sayıları $10$ luk sisteme göre yazarsak $(b+2)(b+5)(b+6) = 3b^3 + b^2 + 4b + 6$ denklemini elde ederiz.

$b^3 + 13b^2 + 52b + 60 = 3b^3 + b^2 + 4b + 6 \Longrightarrow b^3 - 6b^2 - 24b-27 = 0$

$b>6$ olmalı ve $9 \mid 27$ olduğu için $b = 9$ köklerden biri olabilir.

$9^3 - 6 \cdot 9^2 - 24 \cdot 9 - 27 = 27(27 - 18 - 8 - 1) = 0$ olduğu için $b=9$ dur.

$(b+2)+ (b+5)+ (b+6) = 3b + 13 = 3\cdot 9 + 13 = 40$.

[geo]

Eşitliğin iki yanını $\bmod b$ de inceleyelim.

$2 \cdot 5 \cdot 6 \equiv 6 \pmod b \Longrightarrow 54 \equiv 0 \pmod b$ elde edilir.

$b=6,9,27,54$ olabilir. ($6$ olamaz. İlk deneyeceğimiz sayı $9$ olur.)

$T = (b+2) + (b+5)+(b+6) = 3b + 13$ olduğu için şıklardan kontrol edersek sadece $b=9$ ve $T=40$ sağlar.