Gönderen Konu: USAMO 2014 Pr 1 {çözüldü}  (Okunma sayısı 1326 defa)

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3238
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
USAMO 2014 Pr 1 {çözüldü}
« : Ağustos 25, 2019, 03:17:38 ös »
Soru: $a,b,c,d$ gerçel sayılar ve $b-d \geq 5$ olmak üzere $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ polinomunun tüm $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ kökleri gerçel sayılardır. $$(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$$ çarpımının alabileceği en küçük değeri bulunuz. (ABD Matematik Olimpiyatı 2014-Problem 1)
« Son Düzenleme: Mart 01, 2020, 07:18:47 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 259
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: USAMO 2014 Pr 1
« Yanıtla #1 : Ağustos 25, 2019, 03:49:54 ös »
İstenen ifade $S$  olsun.

$S=(x_1^2+1).(x_2^2+1).(x_3^2+1).(x_4^2+1)$

$S=(x_1^2x_2^2+x_1^2+x_2^2+1).(x_3^2x_4^2+x_3^2+x_4^2+1)$

$S=(x_1x_2x_3x_4)^2+(x_1x_2x_3)^2+(x_1x_2x_4)^2+(x_1x_2)^2+(x_1x_3x_4)^2+(x_1x_3)^2+(x_1x_4)^2+x_1^2+(x_2x_3x_4)^2+(x_2x_3)^2+(x_2x_4)^2+x_2^2+(x_3x_4)^2+x_3^2+x_4^2+1$

Şimdi ifadeyi derlemeye başlayalım. 

$x_1+x_2+x_3+x_4=-a$
$x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=b$
$x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-c$
$x_1x_2x_3x_4=d$

$x$li ifadelerin dörderli çarpımların karesi $D$ üçerli çarpımlarının karesi toplamı $C$ , İkili çarpımların karesi toplamı $B$, kareleri toplamı $A$  olsun. 

$S=A+B+C+D+1$ olur.

$D=(x_1x_2x_3x_4)^2=d^2$

$c^2=C+2.x_1x_2x_3x_4(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)=C+2db$

$b^2=B+2.(x_1+x_2+x_3).(x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)=B+2.(-a).(-c)$ 

$a^2=A+2b$  oldukları görülür.

$S=A+B+C+D+1=1+a^2-2b+b^2-2ac+c^2-2db+d^2=(a-c)^2+(b-d-1)^2$

$a$  ile $c$ arasında bilgi verilmediğinden dolayı $(a-c)^2\ge 0$ alınabilir.

Soruda verilen eşitsizliği de kullanırsak $(a-c)^2+(b-d-1)^2\ge 16$ elde edilir. 

Kökler farklı olduğu belirtilmediği için $x_1=x_2=x_3=x_4=1$ için sağlar.

Eğer  kökleri farklı ise bu denklemi sağlayan durumlardan biri elle bulunacak gibi değil  Belki bir ispat yapılabilir bilemiyorum Wolfram Alphanın bulduğu çözüm

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%3C0+or+x%3E0%2C+a%3E0%2C+b%3E0%2C++x%5E4%2Bax%5E3%2B%28b%2B5%29x%5E2%2Bax%2Bb%3D0
« Son Düzenleme: Ağustos 25, 2019, 11:56:13 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3238
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: USAMO 2014 Pr 1
« Yanıtla #2 : Ağustos 25, 2019, 04:44:08 ös »
Çözüm için teşekkürler Atakan. Birkaç küçük ekleme yapalım.

Eşitsizliğin eşitliğe dönüştüğü $S=16$ durumunun sağlandığı bir örnek durum da bulursanız çözüm tamamlanmış olur. Aksi halde çözüm eksik kalır. (Neden acaba?)

$a-c \geq 0 $ kabulüne de ihtiyaç yoktur. Daima $(a-c)^2\geq 0$ oluşu işimizi görecektir.
« Son Düzenleme: Ağustos 25, 2019, 04:46:41 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 259
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: USAMO 2014 Pr 1
« Yanıtla #3 : Ağustos 25, 2019, 04:58:49 ös »
Çözüm için teşekkürler Atakan. Birkaç küçük ekleme yapalım.

Eşitsizliğin eşitliğe dönüştüğü $S=16$ durumunun sağlandığı bir örnek durum da bulursanız çözüm tamamlanmış olur. Aksi halde çözüm eksik kalır. (Neden acaba?)

$a-c \geq 0 $ kabulüne de ihtiyaç yoktur. Daima $(a-c)^2\geq 0$ oluşu işimizi görecektir.


haklısınız hocam parantezi koymayı unutmuşum  örnek te bulayım.  Reel sayılar kümesinde minimum istendiği için eksik kalıyor.  En az bir tane reel denklem gerekiyor.
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı Squidward

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 86
  • Karma: +3/-0
Ynt: USAMO 2014 Pr 1
« Yanıtla #4 : Ağustos 25, 2019, 05:41:39 ös »
$S=(x_1^2x_2^2+x_1^2+x_2^2+1).(x_3^2x_4^2+x_3^2+x_4^2+1)$

dedikten sonra ilk çarpana $2x_1x_2$ ikinci çarpana $2x_3x_4$ ekleyip çıkartırsak,

$S=(x_1^2x_2^2 - 2x_1x_2 + 1 + x_1^2 +2x_1x_2 +x_2^2)(x_3^2x_4^2 - 2x_3x_4 + 1 + x_3^2 +2x_3x_4 +x_4^2)$

$S = ((x_1x_2 - 1)^2 + (x_1 + x_2)^2)((x_3x_4 - 1)^2 + (x_3 + x_4)^2)$

Bu aşamada $x_1x_2 - 1$, $x_1 + x_2$ ve $1 - x_3x_4$, $x_3 + x_4$ çiftleri için C-S eşitsizliği yazarsak, ($x_3x_4 - 1$ değil, $1 - x_3x_4$ yazıldığına dikkat, $(x_3x_4 - 1)^2 = (1- x_3x_4)^2$ olduğundan böyle bir şey yapabiliriz ve nedeni az sonra daha açık olacaktır.)

$S \ge ((x_1x_2 - 1)(1 - x_3x_4) + (x_1+x_2)(x_3 + x_4))^2$ eşitsizliğin sağ tarafı açılırsa,

$S \ge (x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 - x_1x_2x_3x_4 - 1)^2$ elde edilir, yukarıda Atakan'ın gösterdiği yerine koymaları yaparsak,

$S \ge (b - d - 1)^2$

Soruda verilen $(b-d) \ge 5$'i kullanırsak,

$S \ge (b-d-1)^2 \ge 4^2 = 16$ olur.


$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 1$ eşitlik durumunu sağlar.




ibc

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3238
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: USAMO 2014 Pr 1
« Yanıtla #5 : Ağustos 25, 2019, 07:50:28 ös »
3. Çözüm: $S=(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)$ diyelim. $i^2=-1$ olmak üzere her $x$ gerçel sayısı için $x^2+1=(x-i)(x+i)$ biçiminde yazılabildiğinden
$$ S=(x_1-i)(x_2-i)(x_3-i)(x_4-i)(x_1+i)(x_2+i)(x_3+i)(x_4+i)$$
olup $$ S=P(-i)P(i)$$ elde edilir.
$$ \begin{array}{lcr}  P(-i) & = & (d-b+1) +i(a-c) \\ P(i) & = & (d-b+1) -i(a-c)  \end{array} $$
eşlenik ifadelerinin çarpımından
$$ S=(a-c)^2+(d-b+1)^2 = (a-c)^2+(b-d-1)^2 $$ olur.
Bu aşamadan sonra $(a-c)^2 \geq 0$ ve $b-d \geq 5$ eşitsizliklerini kullanarak $S \geq 16$ elde ederiz. Ayrıca $S_{\min}=16$ olmasını sağlayan bir $P$ polinomu örneği $P(x)=(x-1)^4=x^4 -4x^3+6x^2-4x+1$ dir. Kökleri $x_1=x_2=x_3=x_4=1$ dir.



Kaynak: Evan Chen'in olimpiyat bloğundaki olimpiyatta çözüm yazma üzerine olan buradaki çalışması.
« Son Düzenleme: Ağustos 30, 2019, 01:17:24 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal