Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 07  (Okunma sayısı 1241 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 07
« : Mayıs 24, 2019, 07:44:35 ös »
$P(x)=(x+1)^{2019}+(x-1)^{2019}$ polinomunun $x^2+1$ ile bölümünden kalan polinomu nedir?
$\textbf{a)}\ 2^{2019}x \qquad\textbf{b)}\ 2^{1010}x  \qquad\textbf{c)}\ 2^{1009}x \qquad\textbf{d)}\ 2019x
 \qquad\textbf{e)}1010x$
« Son Düzenleme: Haziran 01, 2019, 04:40:50 öö Gönderen: geo »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 7
« Yanıtla #1 : Mayıs 24, 2019, 07:56:58 ös »
Yanıt:$\boxed{B}$
$x^2+1=0$ denkleminin köklerini bulup $P(x)$ polinomunda yerine koyalım. Çözersek $x_1=i$ ve $x_2=-i$ elde edilir. Polinomumuzda yerine koyalım.  $(i+1)^2=2i$ ve $(i-1)^2=-2i$ olduğunu kullanmaya çalışalım.
$(i+1)^{2019}+(i-1)^{2019}=((i+1)^2)^{1009}.(i+1)+((i-1)^2)^{1009}.(i-1)$
$=2^{1009}.(i^2)^{504}.i.(i+1)+(-2)^{1009}.(i^2)^{504}.i.(i-1)=2^{1009}.(i^2+i+i-i^2)=2^{1009}.2i=2^{1010}i$
benzer işlemleri $x=-i$ için de yaparsak $-2^{1010}i$ sonucunu elde ederiz.
$P(x)=(x^2+1).B(x)+K(x)$ formunda polinomumuz yazılabilir.
$2.$ dereceden bir polinoma bölümünden kalan $ax+b$ formundadır.
 $P(i)=ai+b=2^{1010}i$
$P(-i)=-ai+b=-2^{1010}i$ denklem sistemi çözülürse $a=2^{1010}$ ve $b=0$ yani $K(x)=2^{1010}x$ bulunur .
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal