Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 07

[AtakanCİCEK]

$P(x)=(x+1)^{2019}+(x-1)^{2019}$ polinomunun $x^2+1$ ile bölümünden kalan polinomu nedir?

$\textbf{a)}\ 2^{2019}x \qquad\textbf{b)}\ 2^{1010}x  \qquad\textbf{c)}\ 2^{1009}x \qquad\textbf{d)}\ 2019x
 \qquad\textbf{e)}1010x$

[AtakanCİCEK]

Yanıt: $\boxed{B}$

$x^2+1=0$ denkleminin köklerini bulup $P(x)$ polinomunda yerine koyalım. Çözersek $x_1=i$ ve $x_2=-i$ elde edilir. Polinomumuzda yerine koyalım.  $(i+1)^2=2i$ ve $(i-1)^2=-2i$ olduğunu kullanmaya çalışalım.
$(i+1)^{2019}+(i-1)^{2019}=((i+1)^2)^{1009}.(i+1)+((i-1)^2)^{1009}.(i-1)$
$=2^{1009}.(i^2)^{504}.i.(i+1)+(-2)^{1009}.(i^2)^{504}.i.(i-1)=2^{1009}.(i^2+i+i-i^2)=2^{1009}.2i=2^{1010}i$
benzer işlemleri $x=-i$ için de yaparsak $-2^{1010}i$ sonucunu elde ederiz.
$P(x)=(x^2+1).B(x)+K(x)$ formunda polinomumuz yazılabilir.
$2.$ dereceden bir polinoma bölümünden kalan $ax+b$ formundadır.
 $P(i)=ai+b=2^{1010}i$
$P(-i)=-ai+b=-2^{1010}i$ denklem sistemi çözülürse $a=2^{1010}$ ve $b=0$ yani $K(x)=2^{1010}x$ bulunur .