Cevap: $\boxed{A}$
$PBC$ üçgeninde Stewart teoreminden, $$\dfrac{PB^2+PC^2}{2}-\dfrac{1}{2}=PD^2$$ $PAC$ üçgeninde Stewart teoreminden, $$\dfrac{PA^2+PC^2}{2}-1=PE^2$$ Bu iki denklemi toplayıp $PC^2=PD^2+PE^2$ 'yi kullanırsak, $$PA^2+PB^2=3$$ bulunur.$PAB$ üçgeninde kosinüs teoreminden, $$PA^2+PB^2-2\cdot PA\cdot PB\cdot \cos(\angle BPA)=AB^2 \Rightarrow 3+2\cdot PA\cdot PB\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{4}=4 \Rightarrow PA\cdot PB=\sqrt{2}$$ $$PA+PB=\sqrt{PA^2+PB^2+2\cdot PA\cdot PB}=\sqrt{2}+1$$