Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 11  (Okunma sayısı 1273 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 11
« : Kasım 25, 2018, 03:15:10 ös »
$x^2+xy-y^2=10x$
$x^3-xy^2+y^2=10y $

denklem sistemini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır ?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$
« Son Düzenleme: Kasım 25, 2018, 04:08:13 ös Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 11
« Yanıtla #1 : Kasım 25, 2018, 03:49:40 ös »
Yanıt:$\boxed{D}$

Verilen denklemleri taraf tarafa toplayalım.
$x^2+x^3-y^2-xy^2+xy+y^2=10x+10y$
ifadeyi çarpanlarına ayırırsak
$x^2 (1+x)-y^2 (1+x)+y (x+y)=10 (x+y)$
$(x^2-y^2)(1+x)+y(x+y)=10 (x+y)$
$(x-y)(x+y)(1+x)+y(x+y)=10(x+y)$
$(x+y)((x-y)(x+1)+y)=10(x+y)$
 buradan  $x+y=0$ veya $(x-y)(x+1)+y=10$ bulunur.
1) $x+y=0$ ise
 $x=-y$ olduğunu kullanarak 1. denklemi çözelim.
  $x=-y$ yazıldığında $-y^2=-10y$  ve  $y=10$ veya $y=0$ olabilir.
a)$y=0$ ise  $x+y=0$ olacağından  $x=0$ bulunur ve 2.denklemde yerine konulduğunda sağladığı görülür.
b) Aynı şekilde $y=10$ ise $x=-10$ bulunur. ve 2. denklemde yerine konulduğunda sağlandığı görülür.
2) $(x-y)(x+1)+y=10$ ise
    ifadeyi açıp  düzenlersek $\frac{x^2+x-10}{x}=y$ olur.
   elde ettiğimiz bu ifadeyi ilk denklemde yerine yazıp düzenlersek
   $x^4-11x^3+9x^2+20x-100=0$ denklemi elde edilir.
   şimdi bu ifadeye çarpanlarına ayıralım.
   $(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4-11x^3+9x^2+20x-100$ deyip
   soldaki ifadeyi açıp katsayıları eşitlersek
  $a+c=-11$
  $ac+b+d=9$
  $ad+bc=20$
  $bd=-100$   denklemlerinden $a=-3$,$b=5$,$c=-8$,$d=-20$ bulunur.
  ifadeyi $(x^2-3x+5)(x^2-8x-20)=0$ haline getirdik.
  $x^2-3x+5=0$ ifadesinin diskriminantı 0'dan küçük olduğundan reel kökü yoktur.
  o halde $x^2-8x-20=0$ ifadesinden gelen $x=10$ ve $x=-2$ olmalıdır.
 a)$x=10$ ise 1.denklemde yerine yazıp düzenlersek $y^2=10y$ yani $y=10$ veya $y=0$ elde ederiz.
    2. denklemde bu değerleri denersek  $y=10$ olması gerektiğini anlarız.
 b)$x=-2$ ise  $4-2y-y^2=-20$  denkleminden  $y=-6$ veya $y=4$ olduğunu anlarız
   2. denklemde yerine koyarsak $y=4$ olması gerektiği görülür.
  yani ikililerimiz $(-10,10)$,$(-2,4)$,$(0,0)$,$(10,10)$ ikilileri bulunur. Yani $4$ tane ikilimiz vardır.
« Son Düzenleme: Kasım 25, 2018, 04:01:42 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 11
« Yanıtla #2 : Aralık 09, 2018, 03:02:35 ös »
Bir başka çözümünü daha vereyim ;
ilk denklemi $x$ ile çarpalım ve  $x^3$ ifadesini çekelim.Bunu $2.$ denklemde yerine koyalım.
$x^3=10x^2+y^2x-x^2y$ ifadesini $2.$ denklemde yerine koyarsak
$10x^2-x^2y+y^2=10y$ haline gelir.Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
$10x^2-x^2y+y^2-10y=0$
$x^2(10-y)-y(10-y)=0$
$x^2=y$ veya $y=10$ olmalıdır.
$i)$ $y=10$ ise ilk denklem $x^2-100=0$ yani $x=10$ veya $x=-10$  elde edilir. 2. denklemde yerine konulduğunda sağlandığı görülür.
$ii)$ $x^2=y$ ise ilk denklem $x^4-x^3-x^2+10x=0$ haline gelir. bu denklemin kökleri $x=-2$ ve $x=0$ olduğundan
$a)$ $x=0$ ise $y=0$ olmalıdır. $2.$ denklemi sağlar.
$b)$ $x=-2$ ise $y=4$ olmalıdır. $2.$ denklemi sağlar.
Buna göre çözüm kümemizdeki ikililer $(-10,10),(-2,4),(0,0),(10,10)$ olmalıdır. Yani $4$ tane ikilimiz vardır.
« Son Düzenleme: Aralık 09, 2018, 03:06:51 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 257
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 11
« Yanıtla #3 : Aralık 09, 2018, 04:11:38 ös »
Bir başka çözümünü daha vereyim ;
$y=xt$ , $t∈R $ dönüşümü yapabiliriz.
Denklemleri $y=xt$ yazıp düzenlediğimizde
$x+xt-xt^2=10$
$x^2-x^2t^2+xt^2=10t$ denklem sistemi veya $x=0$ elde edilir.
ilk denklemden $x$ ifadesini çekersek $x=\frac{10}{1+t-t^2}$ olur.
Elde ettiğimiz $2.$ denklemde yerine koyup düzenlersek
$t^5-t^4-2t^3+11t^2+t-10=0$ denklemi elde edilir.
bu denklemin köklerinden birinin $t=1$ olduğu açıktır.Basit bir polinom bölmesi ile
$(t-1).(t^4-2t^2+9t+10)=0$ elde edilebilir.
$(t^2+at+b).(t^2+ct+d)=t^4-2t^2+9t+10$ denilirse
$a+c=0$
$ac+b+d=-2$
$ad+bc=9$
$bd=10$ eşitliklerinden $a=3$, $b=2$, $c=-3$, $d=5$ elde edilir.
yani düzenlersek  $(t-1).(t+1).(t+2).(t^2-3t+5)=0$ elde edilir. $t^2-3t+5=0$ ise $Δ<0$ olacağından reel kökü olmayacaktır. $t∈R $ dediğimizden yani $t=1$, $t=-1$, $t=-2$ ifadelerinden ve $x=\frac{10}{1+t-t^2}$ ile $y=xt$ eşitliklerinden
$i)$ $t=1$ ise $x=10$ ve $y=10$ bulunur.
$ii)$ $t=-1$ ise $x=-10$ ve $y=10$ bulunur.
$iii)$ $t=-2$ ise $x=-2$ ve $y=4$ bulunur.
Fakat biz bu denklem sistemini $x≠0$ için yapmıştık. O halde
Soruda verilen ilk denklemde $x=0$ yazarak $-y^2=0$ yani $y=0$ buluruz.
Buna göre çözüm kümemizdeki ikililer $(-10,10),(-2,4),(0,0),(10,10)$ elde edilir. Yani $4$ tane ikilimiz vardır.
« Son Düzenleme: Nisan 14, 2020, 02:52:40 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Boğaziçi Üniversitesi - Matematik

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal