Tübitak Lise 1.Aşama 2017 Soru 24

[Dogukan6336]

$n^2 - 1$ , üç farklı asal sayının çarpımı şeklinde yazılabilen bir doğal sayıdır. Bu özelliği gerçekleyen en küçük birbirinden farklı ilk beş $n$ sayısının toplamı kaçtır ?

$\textbf{a)}\ 104  \qquad\textbf{b)}\ 110  \qquad \textbf{c)}\ 116  \qquad \textbf{d)}\ 124  \qquad\textbf{e)}\ 144$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed A$

$p$ , $q$ , $r$ sayıları asal sayılar olsun.

$n^2 - 1 =(n-1)(n+1)= pqr$ olmasını istiyoruz. Bir kaç durum inceleyeceğiz.

$i)  n-1 = r$ ve $n+1 = pq$ olsun. Bu durumda $pq-r = 2$ olacaktır. $T-C = T$ olduğundan asal sayılardan biri asla 2 olamaz. Bu durumu sağlayan asal sayılara bakacak olursak,

$(p,q,r) = (3,5,13) , (3,7,19) , (3,11,31) , (3,13,37) , (5,11,53),...$ ise $n = 14, 20 , 32 , 38 , 54$ şeklinde olacaktır.

$ii) n+1 = r$ ve $n-1=pq$ olsun. Bu durumda $r = 2+pq$ olur. 

$(p,q,r) = (3,5,17) , (3,7,23) , (3,13,41) , (3,17,53) , (5,7,37) , (3,19,59)...$ ise $n = 16,22,40,52,36,58$ olur.

Olabilecek en küçük 5 tane $n$ sayısının toplamı $14+16+20+22+32 = 104$ olarak bulunur.