Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 06

[Metin Can Aydemir]

$a,b,c$ sayıları, $x^3+x-1=0$ denkleminin kökleri olsun. Aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri $a \cdot b, \ a\cdot c, \ b\cdot c$ olur?

$
\textbf{a)}\ x^3-x-1=0
\qquad \textbf{b)}\ x^3-x^2+1=0
\qquad \textbf{c)} \ x^3-x^2-x-1=0
\qquad \textbf{d)}\ x^3-x+1=0
\qquad  \textbf{e)} \ x^3-x^2-1=0
$

[Dogukan6336]

Cevap : $\boxed E$

Vieta formüllerine göre kökleri $a,b,c$ olan 3.dereceden denklemi.

$x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab + ac + bc)x - (abc) = 0$

Şeklinde yazabiliriz. O halde $a+b+c = 0$ , $ab + ac + bc = 1$  ve $abc = 1$ olarak bulunur. Kökleri $ab$ $ac$ $bc$ olan denklemi

$x^3 - (ab + ac + bc)x^2 + abc(a+b+c)x - (abc)^2 = 0$

şeklinde yazabilirim. O halde denklemimiz.

$x^3 - x^2 - 1 = 0$

olacaktır.