Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 32  (Okunma sayısı 1620 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 32
« : Haziran 08, 2016, 07:25:51 ös »
Aslı ve Berk başlangıçta birkaç sayı yazılmış tahtada sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu tahtadaki bir sayıyı siliyor veya tahtadaki bir sayıyı silip yerine o sayının bir fazlasını, tahtadaki tüm sayıların birbirinden farklı olması ve hiçbirinin $24$ ü aşmaması koşuluyla yazıyor. Oyunu son hamleyi yapan oyuncu kazanıyor. Oyuna her seferinde Aslı başlamak üzere, oyun tahtadaki sayılar $\{2,3,22,23\}$, $\{1,2,3,21,22,23\}$, $\{1,7,12,13,19,24\}$, $\{5,6,11,17,18\}$ ve $\{10,11,12,13,14\}$ olarak birer kez oynanırsa, Aslı bu oyunların kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$
« Son Düzenleme: Haziran 09, 2016, 04:57:53 öö Gönderen: geo »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 32
« Yanıtla #1 : Şubat 27, 2017, 05:26:13 ös »
Yanıt $\boxed {D}$

Aslı’nın hamlesini $A$, berk’in hamlesini $B$ ile gösterelim. Ayrıca bir sayı silinirse onun yerine $0$ koyalım.
Oyunun kazandıran stratejisini belirlemek için daha az sayıyla oynayalım. Örneğin tahtada $\{ 20,21 \}$ sayıları yazılı olsun. $\{ 20,21 \}$ için $A$ $\{ 20,0 \}$ ya da $\{ 21,0 \}$ oynarsa $B$ de diğer sayıyı siler. Yani $\{ 0,0 \}$ bırakıp oyunu kazanır. Eğer $A$ $\{ 20,22 \}$ oynarsa $B$ de $\{ 21,22 \}$ oynayıp yine $A$ ya ardışık sayılar bırakır. Bu yolla $B$ başlangıç pozisyonunu korur ve oyunu kazanır. $a$ uygun aralıkta bir tamsayı olsun.
(1)   $\{ a, a+1 \}$ ile başlayan oyunu $B$ kazanır.
(2) $\{ a, a+2 \}$ ile başlayan oyunda $A$ $\{ a+1, a+2 \}$ hamlesini yaparak $B$ ye (1) durumunu bırakır. $A$ kazanır.
(3) $\{ a, a+3 \}$ ile başlayan oyunda $A$ $\{ a+1, a+3 \}$ hamlesini yaparsa $B$ ye (2) durumunu bırakır. $B$ kazanır. Eğer $A$, $\{ a, a+4 \}$ hamlesini yaparsa $B$ de buna karşılık $\{a+1, a+4 \}$ hamlesini yaparak sayılar arasındaki farkı korumuş olur. Bu yolla $B$ kazanır.
(4) $\{ a, a+4 \}$ ile başlayan oyunda $A$ $\{ a+1, a+4 \}$ hamlesini yaparsa $B$ ye (3) durumunu bırakır. $A$ kazanır.
Sonuç 1. Tek sayıyı $T$ ile ve çift sayıyı $Ç$ ile gösterelim. $\{ T, T \}$ veya $\{ Ç, Ç \}$  oyunlarını $A$ kazanır. $\{ T, Ç \}$ oyunlarını $B$ kazanır.


Şimdi üç sayıdan oluşan oyunları inceleyelim.
(5) $\{ T, T, T \}$ ile başlayan oyunda $A$ $\{ T, T, 0 \}$ yaparsa $B$ ye kazandırır. O halde $A$, $\{ T, T, Ç \}$ yapar. Buna karşılık $B$ de $\{ 0, T, Ç \}$ hamlesiyle karşılık verir. $B$ kazanır.
(6) $\{ T, T, Ç \}$ ile başlayan oyunda $A$ $\{ 0, T, Ç \}$ yapar. $A$ kazanır.
(7) $\{ T, Ç, Ç \}$ ile başlayan oyunda $A$ $\{ 0, T, Ç \}$ yapar. $A$ kazanır.
(8 ) $\{ Ç, Ç, Ç \}$ ile başlayan oyunda $A$ $\{ 0, Ç, Ç \}$ yaparsa $B$ kazanır. Eğer $A$ $\{ T, Ç, Ç \}$ yaparsa $B$ $\{ T, Ç, 0 \}$ hamlesiyle karşılık verir. $B$ kazanır.
Sonuç 2. $\{ T, T, T \}$ ve $\{ Ç, Ç, Ç \}$ oyunlarını $B$ kazanır. $\{ T, T, Ç \}$ ve $\{ T, Ç, Ç \}$ oyunlarını $A$ kazanır.

Şimdi dört sayıdan oluşan oyunları inceleyelim.
(9) $\{ T, T, T, T \}$ oyununda $A$ $\{ T, T, T,0 \}$ hamlesini yapar. (5) e göre $A$ kazanır.
(10) $\{ T, T, T, Ç \}$ oyununda $A$ $\{ T, T, T,0 \}$ hamlesini yapar. (5) e göre $A$ kazanır.
(11) $\{ T, T, Ç,Ç \}$ oyununda $A$ $\{ T, T, Ç,0 \}$ ya da $\{ 0, T, Ç,Ç \}$  hamlesini yaparsa (6-7) ye göre $B$ kazanır. Eğer $A$ $\{ T, T, T,Ç \}$ yaparsa $B$ $\{ T, T, T,0 \}$ hamlesini yapar ve (5) e göre $B$ kazanır. Eğer $A$ $\{ T, Ç, Ç,Ç \}$ yaparsa $B$ $\{ 0, Ç, Ç,Ç \}$ hamlesini yapar ve (8 ) e göre $B$ kazanır.
(12) $\{ T, Ç, Ç, Ç \}$ oyununda $A$ $\{ T, T, Ç, Ç \}$ yapar ve (11) e göre $A$ kazanır.
(13) $\{ Ç, Ç, Ç, Ç \}$ oyununda $A$ $\{ 0, Ç, Ç, Ç \}$ yapar ve (8 ) e göre $A$ kazanır.
Sonuç 3. $\{ T, T, Ç,Ç \}$ oyununda $B$, diğer oyunlarda $A$ kazanır.

Şimdi beş sayıdan oluşan oyunları inceleyelim.
(14) $\{ T, T, T, T, T \}$ oyununda $A$ $\{ T, T, T,T, Ç \}$ oynar. Buna karşılık, $B$ $\{ T, T, T,T, 0 \}$ oynarsa (9) a göre $A$ kazanır. Eğer $B$ $\{ T, T, T, T, T \}$ oynarsa $A$ tekrar $\{ T, T, T, T, Ç \}$ oyununu oynar. Eğer $B$ $\{ T, T, T, Ç, Ç \}$ oynarsa $A$ tekrar $\{ T, T, T, T, Ç \}$ oyununu oynar. Yani $B$ nin tüm hamlelerine karşı $A$ nın ve başlangıç pozisyonunu koruduğu bir hamlesi vardır. Böylece $A$ kazanır.
(15) $\{ T, T, T, T, Ç \}$ oyununda (15) deki incelemeden dolayı $B$ kazanır.
(16) $\{ T, T, T, Ç, Ç \}$ oyununda $A$ $\{ T, T, T, T, Ç \}$  hamlesini yapar. (14) deki incelemeden dolayı $A$ kazanır.
(17) $\{ T, T, Ç, Ç, Ç \}$ oyununda $A$ $\{ T, T, Ç, Ç, 0 \}$  hamlesini yapar. (11) den dolayı $A$ kazanır.
(18) $\{ T, Ç, Ç, Ç, Ç \}$ oyununda $A$ sayılardan birini silerse (12-13) durumlarından biri oluşur ve $B$ kazanır. Eğer $A$ $\{ T, T, Ç, Ç, Ç \}$ oynarsa (17) den dolayı $B$ kazanır. Eğer $A$ $\{ Ç, Ç, Ç, Ç, Ç \}$ oynarsa $B$ $\{ T, Ç, Ç, Ç, Ç \}$ hamlesiyle başlangıç pozisyonunu korur. Böylece her şekilde $B$ kazanır.
(19) $\{ Ç, Ç, Ç, Ç, Ç \}$ oyununda eğer $A$ sayılardan birini silerse (13) den dolayı $B$ kazanır. Eğer $A$ $\{ T, Ç, Ç, Ç, Ç \}$ oynarsa $B$ $\{ Ç, Ç, Ç, Ç, Ç \}$ hamlesiyle başlangıç pozisyonunu korur. Böylece her şekilde $B$ kazanır.
Sonuç 4. $\{ T, T, T, T, T \}$, $\{ T, T, T, Ç, Ç \}$, $\{ T, T, Ç, Ç, Ç \}$ oyunlarını $A$ kazanır. Diğer durumlarda ise $B$ kazanır.

Şimdi probleme dönelim. $\{ 2, 3, 22, 23 \}$ oyununu (11) den dolayı $B$ kazanır. $\{ 5, 6, 11, 17, 18\}$ oyununu (15) den dolayı $A$ kazanır. $\{ 10, 11, 12, 13, 14 \}$ oyununu (17) den dolayı $A$ kazanır. $\{ 1, 2, 3, 21, 22, 23\}$ oyununda $A$ $\{ 1, 2, 3, 21, 23\}$ hamlesini yapar ve (15) e göre $A$ kazanır. $\{ 1, 7, 12, 13, 19, 24\}$ oyununda $A$ $\{ 1, 7, 12, 13, 19 \}$ oynarsa (15) ten dolayı $A$ kazanır.


Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal