Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 27

[ArtOfMathSolving]

$P(x)=(x^3+x+1)(x^3-3x^2+4x-3)$ polinomunun gerçel köklerinin toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -1
\qquad{b)}\ 0
\qquad{c)}\ 1
\qquad{d)}\ 2
\qquad{e)}\ 3
$

[Onat]

Yanıt: $\boxed C$

$P(x)$ polinomunun bir kök varsa bu kök ya $x^3+x+1$ polinomunun ya da $x^3-3x^2+4x-3$ polinomunun bir köküdür.Öncelikle, $x^3+x+1$ in Descartes'ın işaret değişimi kuralından hiç pozitif kökü yoktur.$x$ yerine $-x$ yazarak da yine Descartes'ten tam olarak bir negatif kökü olduğuna ulaşırız.
$x^3+x+1$ polinomunun bir kökü $a$ olsun. Şimdi $x^3-3x^2+4x-3$ polinomunda $x$ yerine $1-a$ yazalım. $(1-a)^3-3(1-a)^2+4(1-a)-3 = -(a^3+a+1)=0$ olduğundan; buradan $x^3+x+1$ ve $x^3-3x^2+4x-3$ polinomlarını kökleri arasında bire bir eşleme olduğuna ulaşırız. Yani iki polinomun da tam olarak birer reel kökü vardır ve toplamları $1$ dir.

[Lokman Gökçe]

$x^3-3x^2+4x-3=(x^3-3x^2+3x-1)+(x-1)-1$ olduğundan $y=x-1$ dersek $y^3+y-1=0$ olur. Bu ifade $y$ değişkenine göre artan bir fonksiyon belirttiğinden tam olarak $y_1=x_1 - 1$ şeklinde bir gerçel köke sahiptir. Ayrıca $x^3+x+1=0$ ifadesi de $x$ e göre artan bir fonksiyon belirttiğinden tam olarak $x=x_2 $ şeklinde bir gerçel köke sahiptir. Dolayısıyla $P(x)=0$ denkleminin iki farklı gerçel kökü vardır.
$$  x^3+x+1=0 \\ y^3+y-1=0  $$
denklemlerini taraf tarafa toplarsak $(x^3+y^3)+(x+y)=0$ olup $(x+y)(x^2+y^2-xy+1)=0$ elde edilir. $ x^2+y^2-xy+1>0$ olduğundan $x+y=0$ olmalıdır. Buradan $x_1+x_2=1$ elde edilir.