Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 23

[Eray]

Tüm terimleri birbirinden ve sıfırdan farklı bir $(a_n)_{n=0}^\infty$ gerçel sayı dizisi $a_0=\sqrt2$ ve her $n\ge1$ için $a_n a_{n+1}+\dfrac{4}{a_n a_{n-1}}=2\left(1+\dfrac{a_{n+1}}{a_{n-1}}\right)$ koşulunu sağlıyor. Buna göre $a_1\cdot a_2\cdots a_{2016}$ çarpımının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Alimmm78]

Latex i tam bilmediğim için yazamadım
Becerebilirsem yazmaya çalışırım

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

Cevap: $1$.

İfade düzenlenirse $\left(a_n a_{n+1}-2\right)\left(a_n a_{n-1}-2\right)=0$ elde edilir. Buradan da tüm terimler farklı olduğundan her $i=0,2,4, \ldots$ için $a_i a_{i+1}=2$ veya her $i=1,3,5, \ldots$ için $a_i a_{i+1}=2$ olmalıdır. $a_0=\sqrt{2}$ olduğundan ilki olamaz. Bu durumda da $a_1 \cdot a_2 \cdots a_{2016}=2^{1008}$ olur.

Kaynak: Tübitak 24. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2016