Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 22  (Okunma sayısı 2071 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 22
« : Haziran 07, 2016, 10:46:11 ös »
Pozitif tam sayılardan oluşan bir $(a_n)_{n=1}^\infty$ dizisinin terimleri her $n\ge1$ için $a_{n+1}=a_n^3+1376$ eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre bu dizinin terimleri arasında en fazla kaç tane tam kare olabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı mehmetutku

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 241
  • Karma: +5/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 22
« Yanıtla #1 : Haziran 08, 2016, 02:26:21 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

Tam küpler $\pmod 7$ de $0,1,6$ kalanlarını verebilir. $1376 \equiv 4 \pmod 7$ dir. O zaman $n \ge 2$ olmak üzere $a_{n} \equiv 3,4,5 \pmod 7$ dir. Tam kareler $\pmod 4$ te $0,1,2,4$ kalanlarını verdiğinden $a_{n} \equiv 4 \pmod 7$ olursa ancak tam kare olabilir. Farz edelim ki $k \ge 2$ olmak üzere bir $a_k$ için $a_k \equiv 4 \pmod 7$ olsun. O zaman $a_{k+1} \equiv 5 \pmod 7$ olur. $a_{k+2} \equiv 3 \pmod 7$ olur. Devam edersek $a_{k+3} \equiv 3 \pmod 7$ olduğu görülür. Yani bundan sonra bütün terimler $\pmod 7$ de $3$ kalanı verir. Demek ki bir $a_k \equiv 4 \pmod 7$ için $a_k$ dan sonraki terimlerin hiçbiri tam kare olamaz. Şimdi $a_k$ dan önceki terimlere bakalım. $a_{k-1} \equiv 0 \pmod 7$ olmalıdır. Ama $n \ge 2$ olmak üzere $a_{n} \equiv 3,4,5 \pmod 7$ olmak zorunda demiştik. O zaman $k-1 \lt 2$ olmalıdır. Yani tam kare olarak farz ettiğimiz $a_k$ terimi $a_2$ veya $a_1$ olabilir. Eğer $k=1$ ise dizide en fazla bir tane tam kare olabilir. Eğer $k=2$ ise dizide en fazla $2$ tane tam kare olabilir. Yani hem $a_1$ hem de $a_2$ tam kare olması koşuluyla. Dolayısıyla bu dizide en fazla $2$ tane tam kare bulunabilir. Örnek olarak $a_1=7^2$ ve $a_2=49^3+1376=343^2+4.343+4=345^2$ verebiliriz.
Geometri candır...

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 22
« Yanıtla #2 : Şubat 28, 2017, 10:57:38 ös »
Ardışık iki tam kare terim örneğinin nasıl bulunduğunu açıklayalım. $a_n=y^2$ ve $a_{n+1}=x^2$ olsun. $x^2-y^6=1376$ dır. Çarpanlara ayırırsak

$$(x-y^3)(x+y^3)=2^5\cdot 43 $$

olur. Muhtemel durumlar incelenirse yalnızca $x-y^3=2$ ve $ x+y^3=688$ denklem sisteminden çözüm gelir ve $(x,y)=(345,7)$ bulunur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal