Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19

[Eray]

Gerçel katsayılı bir $P$ polinomu $P(1)=1$ ve her $x,y$ gerçel sayıları için $P(x)+P(y)=P(x+y)-2xy+1$ koşullarını sağlıyor. Buna göre $P(x)$ in alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{4}$

[Buğra Doğan]

Öncelikle sorunun sonundaki ifade '' P(x) in alabileceği en küçük değer nedir ? '' şeklinde değiştirilirse güzel olur, ufak bi hata olmuş
\[
P(x) + P(y) = P(x + y) - 2xy + 1
\]
Bu koşulu sağlayan gerçel katsayılı P(x) polinomu eşitliğin sağındaki xy'li ifade dolayısıyla ax²+bx+c formatında yazılabilir.Düzenlersek;
\[
ax^2  + bx + c + ay^2  + by + c = ax^2  + a \cdot 2xy + ay^2  + bx + by + c - 2xy + 1
\]\[
c = a \cdot 2xy - 2xy + 1
\]\[
c = 1\,\,\,\,a = 1\,\,\,\,\,\,
\]\[
P(x) = x{}^2 + bx + 1
\]\[
P(1) = 1\,\,\,\,\,olduğundan;
\]\[
b =  - 1\,\,\,olur.
\]\[
P(x) = x^2  - x + 1
\]
P(x)'in alabileceği en küçük değer için P(x)'in türevini alır, 0'a eşitler ve bulduğumuz x değerini ifademizde yerine koyarız;
\[
P'(x) = 2x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1/2
\]\[
P(1/2) = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4\,\,\,\,bulunur.
\]
\[
Cevap:\,E
\]

[Eray]

Düzeltmeniz için teşekkürler
$P(x)=x^2-x+1$ olduğunu bulduktan sonra en küçük değerini bulmak için $P(x)=(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}$ şeklinde yazarsak yanıtın $\dfrac{3}{4}$ olduğunu görebiliriz.

[cersoy]

P(x)+P(y)=P(x+y)-2xy+1
y=1 yazılırsa,       P(x)+P(1)=P(x+1)-2x+1
           P(x)+1=P(x+1)-2x+1  olacağından,
         P(x+1)-P(x)=2x, denkleminde  değerler yazılırsa,

         P(2)-P(1)=2
         P(3)-P(2)=4
         P(4)-P(3)=6
            …………
         P(x)-P(x-1)=2x-2  denklemleri taraf tarafa toplanırsa,

         P(x)-P(1)=2+4+6+⋯+2x-2  bulunur.

      P(x)=x^2-x+1   bulunur.    P(x)=(x-1/2)^2+3/4    olup ,x=1/2    yazılırsa,    3/4   bulunur.

[kriptoman]

Bu çözüm sadece x tamsayıları için geçerli
Cersoy bey

[Eray]

Evet. Çözümün tam olması için şu cümle de söylenmeli:
$P$ nin polinom olduğu verildiğinden ve sonsuz $x$ için $x^2-x+1$ değerini aldığından, $P(x)=x^2-x+1$ olmalıdır. Şayet, $Q(x)=P(x)-(x^2-x+1)$ polinomunun sonsuz kökü olması, bu polinomun sıfır polinomu olması gerektiğini gösterir.

[kriptoman]

Güzel bi yorum olmuş ayrıca IMO'da başarılar dilerim.

[Eray]

Teşekkür ediyorum, sağolun

[Lokman Gökçe]

İlk çözümde $P$ polinomunun derecesinin yalnızca $2$ olabileceği de ispatlanmalıdır. Bunun için $n$ inci dereceden $P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 $ polinomu $ P(x+y) = P(x) + P(y) + 2xy - 1 $ denkleminde yazılırsa

$a_n(x+y)^n + a_{n-1}(x+y)^{n-1} + \cdots + a_1(x+y) + a_0 = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 + a_ny^n + a_{n-1}y^{n-1} + \cdots + a_1y + a_0 + 2xy - 1 $

olur. $n>2$ için sol tarafta oluşan $a_nx^{n-1}y + a_nxy^{n-1}$  terimleri sağ tarafta görülmez. Sağ tarafta $2xy$ terimi vardır. Polinom eşitliği sadece $n=2$ ve $a_n=a_2=1$ için sağlanır.

[Lokman Gökçe]

Yanıt $\boxed{E}$

Soruda $P$ nin polinom olduğu verilmeyip sadece sürekli bir fonksiyon olduğu verilse bile yeterlidir. $P$ nin sürekli fonksiyon olduğu zayıflatılmış şartıyla çözümü yapacağım, polinom olduğu bilgisini kullanmayacağım.

Verilen fonksiyonel denklemi sağlayan iki fonksiyon $P$ ve $R$ olsun.
$$ P(x+y)=P(x)+P(y)+2xy-1 \\ R(x+y)=R(x)+R(y)+2xy-1 $$
denklemlerini taraf tarafa çıkarırsak $(P-R)(x+y)=(P-R)(x)+(P-R)(y)$ olur. $P-R=f$ dersek $f(x+y)=f(x)+ f(y)$ Cauchy fonksiyonel denklemini elde ederiz. $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan tüm çözümler $f(x)=cx$ biçimindedir. Dolayısıyla verilen fonksiyonel denklemin herhangi iki çözümü arasındaki fark daima $cx$ tir. Yani $P(x)- R(x)=cx$ olur. Eğer fonksiyonel denklemin bir $R(x)$ özel çözümünü bulursak tüm $P(x)$ çözümlerini de bulabiliriz.
$ R(x+y)=R(x)+R(y)+2xy-1  $ denkleminin bir özel çözümünün $R(x)=x^2 + 1$ olduğunu tahmin edebiliriz. Genel çözüm $P(x)=x^2+cx+1$ dir. $P(1)=1$ için bir başka özel çözüm bulunur. $1+c+1=1$ den $c=-1$ olur. $P(x)=x^2-x+1$ elde edilir. Bu parabolün minimum değeri $P\left( \frac12 \right) = \frac34$ tür.