Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19  (Okunma sayısı 3049 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« : Haziran 07, 2016, 10:40:02 ös »
Gerçel katsayılı bir $P$ polinomu $P(1)=1$ ve her $x,y$ gerçel sayıları için $P(x)+P(y)=P(x+y)-2xy+1$ koşullarını sağlıyor. Buna göre $P(x)$ in alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac{1}{4} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{1}{3} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{2} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{2}{3} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{3}{4}$
« Son Düzenleme: Haziran 08, 2016, 12:54:07 öö Gönderen: Eray »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı Buğra Doğan

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 21
  • Karma: +1/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #1 : Haziran 08, 2016, 12:45:04 öö »
Öncelikle sorunun sonundaki ifade '' P(x) in alabileceği en küçük değer nedir ? '' şeklinde değiştirilirse güzel olur, ufak bi hata olmuş :)
\[
P(x) + P(y) = P(x + y) - 2xy + 1
\]
Bu koşulu sağlayan gerçel katsayılı P(x) polinomu eşitliğin sağındaki xy'li ifade dolayısıyla ax2+bx+c formatında yazılabilir.Düzenlersek;
\[
ax^2  + bx + c + ay^2  + by + c = ax^2  + a \cdot 2xy + ay^2  + bx + by + c - 2xy + 1
\]\[
c = a \cdot 2xy - 2xy + 1
\]\[
c = 1\,\,\,\,a = 1\,\,\,\,\,\,
\]\[
P(x) = x{}^2 + bx + 1
\]\[
P(1) = 1\,\,\,\,\,olduğundan;
\]\[
b =  - 1\,\,\,olur.
\]\[
P(x) = x^2  - x + 1
\]
P(x)'in alabileceği en küçük değer için P(x)'in türevini alır, 0'a eşitler ve bulduğumuz x değerini ifademizde yerine koyarız;
\[
P'(x) = 2x - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1/2
\]\[
P(1/2) = 1/4 - 1/2 + 1 = 3/4\,\,\,\,bulunur.
\]
\[
Cevap:\,E
\]
« Son Düzenleme: Haziran 08, 2016, 12:56:08 öö Gönderen: Eray »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #2 : Haziran 08, 2016, 12:58:13 öö »
Düzeltmeniz için teşekkürler :)
$P(x)=x^2-x+1$ olduğunu bulduktan sonra en küçük değerini bulmak için $P(x)=(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}$ şeklinde yazarsak yanıtın $\dfrac{3}{4}$ olduğunu görebiliriz.
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı cersoy

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 13
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #3 : Haziran 23, 2016, 03:58:44 ös »
P(x)+P(y)=P(x+y)-2xy+1
y=1 yazılırsa,       P(x)+P(1)=P(x+1)-2x+1
           P(x)+1=P(x+1)-2x+1  olacağından,
         P(x+1)-P(x)=2x, denkleminde  değerler yazılırsa,

         P(2)-P(1)=2
         P(3)-P(2)=4
         P(4)-P(3)=6
            …………
         P(x)-P(x-1)=2x-2  denklemleri taraf tarafa toplanırsa,

         P(x)-P(1)=2+4+6+⋯+2x-2  bulunur.

      P(x)=x^2-x+1   bulunur.    P(x)=(x-1/2)^2+3/4    olup ,x=1/2    yazılırsa,    3/4   bulunur.

« Son Düzenleme: Haziran 23, 2016, 04:01:03 ös Gönderen: cersoy »

Çevrimdışı kriptoman

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 57
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #4 : Haziran 23, 2016, 05:24:50 ös »
Bu çözüm sadece x tamsayıları için geçerli
Cersoy bey

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #5 : Haziran 23, 2016, 09:55:22 ös »
Evet. Çözümün tam olması için şu cümle de söylenmeli:
$P$ nin polinom olduğu verildiğinden ve sonsuz $x$ için $x^2-x+1$ değerini aldığından, $P(x)=x^2-x+1$ olmalıdır. Şayet, $Q(x)=P(x)-(x^2-x+1)$ polinomunun sonsuz kökü olması, bu polinomun sıfır polinomu olması gerektiğini gösterir.
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı kriptoman

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 57
  • Karma: +2/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #6 : Haziran 24, 2016, 11:04:12 ös »
Güzel bi yorum olmuş ayrıca IMO'da başarılar dilerim.

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #7 : Haziran 25, 2016, 12:31:09 öö »
Teşekkür ediyorum, sağolun
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #8 : Şubat 28, 2017, 10:47:27 ös »
İlk çözümde $P$ polinomunun derecesinin yalnızca $2$ olabileceği de ispatlanmalıdır. Bunun için $n$ inci dereceden $P(x)=a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 $ polinomu $ P(x+y) = P(x) + P(y) + 2xy - 1 $ denkleminde yazılırsa

$a_n(x+y)^n + a_{n-1}(x+y)^{n-1} + \cdots + a_1(x+y) + a_0 = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 + a_ny^n + a_{n-1}y^{n-1} + \cdots + a_1y + a_0 + 2xy - 1 $

olur. $n>2$ için sol tarafta oluşan $a_nx^{n-1}y + a_nxy^{n-1}$  terimleri sağ tarafta görülmez. Sağ tarafta $2xy$ terimi vardır. Polinom eşitliği sadece $n=2$ ve $a_n=a_2=1$ için sağlanır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 19
« Yanıtla #9 : Şubat 28, 2017, 10:50:27 ös »
Yanıt $\boxed{E}$

Soruda $P$ nin polinom olduğu verilmeyip sadece sürekli bir fonksiyon olduğu verilse bile yeterlidir. $P$ nin sürekli fonksiyon olduğu zayıflatılmış şartıyla çözümü yapacağım, polinom olduğu bilgisini kullanmayacağım.

Verilen fonksiyonel denklemi sağlayan iki fonksiyon $P$ ve $R$ olsun.
$$ P(x+y)=P(x)+P(y)+2xy-1 \\ R(x+y)=R(x)+R(y)+2xy-1 $$
denklemlerini taraf tarafa çıkarırsak $(P-R)(x+y)=(P-R)(x)+(P-R)(y)$ olur. $P-R=f$ dersek $f(x+y)=f(x)+ f(y)$ Cauchy fonksiyonel denklemini elde ederiz. $f$ fonksiyonu sürekli olduğundan tüm çözümler $f(x)=cx$ biçimindedir. Dolayısıyla verilen fonksiyonel denklemin herhangi iki çözümü arasındaki fark daima $cx$ tir. Yani $P(x)- R(x)=cx$ olur. Eğer fonksiyonel denklemin bir $R(x)$ özel çözümünü bulursak tüm $P(x)$ çözümlerini de bulabiliriz.
$ R(x+y)=R(x)+R(y)+2xy-1  $ denkleminin bir özel çözümünün $R(x)=x^2 + 1$ olduğunu tahmin edebiliriz. Genel çözüm $P(x)=x^2+cx+1$ dir. $P(1)=1$ için bir başka özel çözüm bulunur. $1+c+1=1$ den $c=-1$ olur. $P(x)=x^2-x+1$ elde edilir. Bu parabolün minimum değeri $P\left( \frac12 \right) = \frac34$ tür.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal