Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 15  (Okunma sayısı 1660 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 15
« : Haziran 07, 2016, 10:26:48 ös »
$1\le|a|,|b|,|c|\le10$, $a\neq c$ ve $b^2\ge4ac$ koşullarını sağlayan tüm $a,b,c$ tam sayıları için $ax^2+bx+c=0$ denkleminin en küçük kökü ile $cx^2+bx+a=0$ denkleminin en büyük kökü birbirine eşitse $(a,b,c)$ üçlüsüne karesel üçlü diyelim. Kaç farklı karesel üçlü vardır?

$\textbf{a)}\ 20 \qquad\textbf{b)}\ 40 \qquad\textbf{c)}\ 50 \qquad\textbf{d)}\ 60 \qquad\textbf{e)}\ 80$
« Son Düzenleme: Haziran 07, 2016, 10:37:05 ös Gönderen: Eray »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı Buğra Doğan

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 21
  • Karma: +1/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 15
« Yanıtla #1 : Haziran 08, 2016, 07:20:36 ös »
\[
ax^2  + bx + c = 0\,\,\,\,kökleri;\,\,\,\,\frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}
{{2a}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,cx^2  + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,kökleri;\,\,\,\frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}
{{2c}}
\]
İlk denklemin en küçük kökü ve ikinci denklemin en büyük kökünün eşit olduğu söyleniyor. b'nin negatif yada pozitif olmasına göre denklemlerin en küçük ve en büyük kökü bulunurken kök(diskriminantın) işareti de değişir ancak kök(diskriminantın) işaretinin - yada + olması içler dışlar çarpımı yapıldığında ortaya çıkacak denklemi etkilemeyecektir. Düzenleyelim;
\[
\frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}
{{2a}} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}
{{2c}}\,
\]
\[
2ab - 2bc = (2a + 2c) \cdot \sqrt \Delta
\]
\[
2ab - 2bc = \sqrt {(2a + 2c)^2  \cdot (b^2  - 4ac)}
\]
\[
(2ab - 2bc)^2  = (2a + 2c)^2  \cdot (b^2  - 4ac)
\]
\[
b^2  = (a + c)^2 \,\,\,\,elde\,\,edilir.
\]

Ayrıca köklü diskriminant ifadesi negatif olamayacağından eşitsizliğin sol yanının 0'dan büyük olduğunu da biliyoruz;
\[
2ab - 2bc = (2a + 2c) \cdot \sqrt \Delta  \,\xrightarrow{{}}\,\,\,\frac{{2ab - 2bc}}
{{2a + 2c}} \geqslant 0\xrightarrow{{}}\,\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0
\]
\[
\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0\,\,\,ifadesi\,\,a \ne c\,\,ve\,\,b \ne 0\,\,olduğundan\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \succ 0\,\,\,kabul\,\,edilir.
\]

\[
b^2  = (a + c)^2 \,\,\,\,,\,\,\,\,\,\frac{{b(a - c)}}
{{(a + c)}} \geqslant 0\,\,\,\,\,ve\,\,\,\,a \ne c\,\,\,\,koşulunu\,\,\,sağlayan\,\,\,1 \leqslant \left| a \right|,\left| b \right|,\left| c \right| \leqslant 10\,\,\,aralığındaki\,\,\,(a,b,c)\,\,\,\,üçlüleri\,\,istenilen\,\,cevapt\imath r.
\]
b'ye sırasıyla 10,9.8,...,1 değerleri verildiğinde yukarıdaki elde ettiğimiz denklem ve eşitsizliğe göre;

b=(10,9)          8'er farklı (a,c) ikilisi (8.2=16)
b=(8,7)            6'er farklı (a,c) ikilisi (6.2=12)
b=(6,5)            4'er farklı (a,c) ikilisi (4.2=8)
b=(4,3)            2'er farklı (a,c) ikilisi (2.2=4)
b=(2,1)            0'er farklı (a,c) ikilisinin sağladığı rahatça görülür. (Toplam:40 adet)

Ayrıca b'nin (-1,-2,...,-10) değerlerinde de durumun senkronize olduğu görülür. 40+40=80 farklı (a,b,c) karesel üçlüsü bulunmaktadır.

\[
Cevap:E
\]



 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal