Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 09

[mehmetutku]

Bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember $BC,CA,AB$ kenarlarına sırasıyla $D,E,F$ noktalarında teğettir. $EF$ doğrusu $[CB$ ışınını $P$ noktasında kesiyor. Buna göre $|BD|=1 \ , \ |CD|=3 \ , \ |PF|=\sqrt{5}$ ise $|CA|$  uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{5}  \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 4\sqrt{2} \qquad\textbf{e)}\ 6$

[mehmetutku]

Yanıt: $\boxed{C}$

Menaleustan $\dfrac{PB}{PB+4}\cdot\dfrac{3}{AE}\cdot\dfrac{AF}{1}=1$ bulunur. $AE=AF$ olduğu için $PB=2$ bulunur. Buradan $PBF$ üçgeninin dik üçgen olduğunu görürüz. O zaman $ABC$ üçgeni de diktir. Pisagordan $AF=x$ olmak üzere

$(x+1)^2+16=(x+3)^2$ ve $x=3$ bulunur. Yani $|CA|=5$ tir.

Not: Bir başka yol olarak P,B,D,C noktaları harmonik olduğu için $PB=x$ olmak üzere $\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{1}{3}$ ten $x=2$ bulunabilir.