21. AUMO SORULARI ÇÖZÜMLERİ

[Arman]

$2.$ soru

$TAB,TBA,ABT,ATB,BTA,BAT$ sıralamalarının sayısına sırayla $x,y,z,k,l,m$ diyelim. $x+y+z+k+l+m=25$ tir. $x+l+y=19$ ,  $z+l+m=12$  ve  $k+z+x=11$  bulunur. Her sıralama en az iki kere yazılmış dediği için $(x,y,z,k,l,m)=(a+2,b+2,c+2,d+2,e+2,f+2)$  dönüşümü yapabiliriz. $a+b+e=13$  , $c+e+f=6$ ve $a+c+d=5$ yazabiliriz. $a+b+c+d+e+f=13$ tür.  $a+b+e=13$ bulmuştuk. O zaman $c,d,f=0$ dır. $a=5$ , $e=6$ ve $b=2$ bulunur. Bizden istediği şey $l+m=e+2+f+2=10$ bulunur.

$x+y+l=19 \Longrightarrow z+k+m=6 \Longrightarrow z=k=m=2$

$z+l+m=12 \Longrightarrow l+m=10$

[ArtOfMathSolving]

14.

Ana Denklemde $x\rightarrow 1$ koyalım,

$f(1)+f(-3)=-4$  $(1)  $ bulunur. Şimdi de $x \rightarrow -3$ koyalım.

$5f(1)+f(-3)=12$  $(2) $ bulunur. $(1)$ ile $(2)$'yi toplayalım. $f(1)=4$ elde edilir.

Şimdi $f(x)$ fonksiyonunu bulmak için $x\rightarrow \dfrac{2x+1}{x-2}$ koyalım.

$\dfrac{5}{x-2}f(1)=f(\dfrac{2x+1}{x-2})+4(\dfrac{2x+1}{x-2}) \Rightarrow \dfrac{16-8x}{x-2} =f(\dfrac{2x+1}{x-2})$ bulunur. Bunu ana denklemde yerine yazarsak,

$f(x)=3x+1\Rightarrow \left\lfloor f(17,71)\right\rfloor=\left\lfloor 53,13+1 \right\rfloor = \left\lfloor 54,13\right\rfloor = 54$ bulunur.

$Düzeltildi.$

[Arman]

14.

$f(x)+4x=(x-2).f(\dfrac{2x+1}{x-2})$   ,   $ x→\dfrac{2x+1}{x−2}$ yazalım


$f(\dfrac{2x+1}{x-2})+4.\dfrac{2x+1}{x-2}=(\dfrac{2x+1}{x-2}-2).f(x) \Longrightarrow$


$f(\dfrac{2x+1}{x-2})=(\dfrac{5}{x-2}).f(x)-\dfrac{8x+4}{x-2}$


İlk denklemde yerine yazalım:


$f(x)+4x=5.f(x)-8x-4 \Longrightarrow f(x)=3x+1$ Buradan $f(17,71)=54,13$ gelir yani tam kısmı $54$'tür.

[ArtOfMathSolving]

16.

$x^{12}\equiv 13 \pmod {23} \Rightarrow x^{12}\equiv 36 \equiv x^6 \equiv 6 \equiv 121\equiv x^3 \equiv 11 \equiv 1000 \Rightarrow |x|\equiv 10 \pmod {23} $

$|x|=23k+10,k\in \mathbb{Z} \Rightarrow  -3 \le k \le 3 \Rightarrow k={-82,-59,-36,-13,10,33,56,79}$ çözümleri elde edilir. 

[kriptoman]

16.

$x^{12}\equiv 13 \pmod {23} \Rightarrow x^{12}\equiv 36 \equiv x^6 \equiv 6 \equiv 121\equiv x^3 \equiv 11 \equiv 1000 \Rightarrow |x|\equiv 10 \pmod {23} $

$|x|=23k+10,k\in \mathbb{Z} \Rightarrow  -3 \le k \le 3 \Rightarrow k={-82,-59,-36,-13,10,33,56,79}$ çözümleri elde edilir.

  modüler gösterimde sadeleştirme yapılmaz bu soru için bi yanlış yok ama herzaman doğru olmayabilir aklınızda bulunsun

[Arman]

20.

$4,5,6$ üçgeni bir $\alpha,2\alpha$ üçgenidir yani $6$ kenarını gören açı $4$ kenarını gören açının $2$ katıdır.

$2.m(\widehat{ACB})=m(\widehat{BAC})=2\alpha$   $\Longrightarrow$   $m(\widehat{ABE})=m(\widehat{EBD})=m(\widehat{DBC})=60^\circ-\alpha$   $\Longrightarrow$  $m(\widehat{BDA})=60^\circ$

[taftazani44]

10.soru eşlik
Lütfen resim boyutuna dikkat edelim.Ayrıca çözülmemiş sorulara çözüm yollanırsa daha memnun oluruz.Teşekkürler

[taftazani44]

7.
Türevden de kolayca bulunabiliyor

[taftazani44]

21.
(19^k)/k!+(91^k)/k! İfadesinde ,birinci kesir k=1,2,...,19 a kadar artan ve k>19 için azalandır.
İkinci kesir k=1,2,....,90 için artandır.k=90 ve k=91 için eşit olurlar.
Birinci kesir k>90 için de azalan olduğundan.
Eklendiğinde 90. Terim 91. Terimden büyük olur.
Dolayısıyla 90. Terim en büyük terim olur.

[taftazani44]

24
P(x)=ax²+bx+c alınır istenenler yazılırsa
(4x²+1)(2x-1)[a(4x²+1)(2x+1)+b]≥0
 Her x reel sayısı için saglaması için Tek kök olmalı oda x=1/2
Ve -b/a=(4x²+1)(2x+1)=4

[taftazani44]

11.soru için
Uygun katsayılarla çarpıp toplanırsa
193<(x+1)^6<319
eşitsizliğini sağlayan bir x sayısı
1<x<3 aralığındadır.
m=6 içinde sağlar.benzer durum m=7 içinde sağlar.
Nerede hata yaptığımı bulamadım.

[Alimmm78]

11.soru için
Uygun katsayılarla çarpıp toplanırsa
193<(x+1)^6<319
eşitsizliğini sağlayan bir x sayısı
1<x<3 aralığındadır.
m=6 içinde sağlar.benzer durum m=7 içinde sağlar.
Nerede hata yaptığımı bulamadım.

3<x^3<5 diyor

Bunun karesini alınca
9< x^6 < 25 oluyor ama kurala göre

X^6 küçüktür 8 di yani olmuyor

[taftazani44]

Üs alarak değil.uygun katsayılarla genişleterek
2<2x<6
2<x²<4 ise 4<x²+2x<10 bir eklersek
5<(x+1)²<11
.
.

[taftazani44]

11
Ek

[kriptoman]

Alimmm beyefndinin dediği doğru sizin bulduğunuz eşitsizliği sağlayan bir x sayısının varlığından emin olamazsınız.