EŞİTSİZLİK 181

[MATSEVER 27]

$ab+bc+ca=1$ eşitliğini sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$\sqrt{a+\dfrac{1}{a}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{b}}+\sqrt{c+\dfrac{1}{c}} \ge 2( \sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c})$$
olduğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

Paydaları eşitleyip eşitsizliği düzenlersek , $\sum \dfrac{\sqrt{(a^2+1)bc}}{\sqrt{abc}}\ge 2(\sum \sqrt{a})$ elde ederiz. Aritmatik -Geometrik Ortalama Eşitsizliğinden $(a^2+1)bc\ge 2abc$ bulunur.
Eşitsizlikte yerine yazılırsa, $\sum \dfrac{\sqrt{2abc}}{\sqrt{abc}}\le 2(\sum \sqrt{a})$

$c \ge b \ge a$ olarak kabul edersek, Chebshevden $(\sum \sqrt{a})^2\le 3(a+b+c)$ olduğu görülür . Aritmatik ortalamadan $\dfrac{1}{3\sqrt{3}}\ge abc \Rightarrow a+b+c \ge 3\sqrt{3}\Rightarrow \sum \sqrt{a}\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ bulunur.$\spadesuit$

[matematik fatihi]

Son Cheybshevden ispatladığınız eşitsizlik yanlıştır. Cauchy'den $(\sum \sqrt{a})^2\le 3(a+b+c) $ dir.

[matematik fatihi]

$\sqrt{a+\dfrac{1}{a}}=\sqrt{a+b+c+\dfrac{bc}{a}} \ge^{A.G.O} \sqrt{b+c+2\sqrt{bc}}=\sqrt{b}+\sqrt{c}$ olduğundan eşitsizlik doğrudur.