EŞİTSİZLİK 6

[MATSEVER 27]

$a,b,c$ negatif olmayan gerçel sayıları $a$ $+$ $b$ $+$ $c$ $+$ $ab$ $+$ $bc$ $+$ $ca$ $=$ $3$ eşitliğini sağlıyorsa $\mathcal S$ $=$ $a$ $+$ $b$ $+$ $c$ $+$ $abc$  olmak üzere $\mathcal S$ nin en büyük ve en küçük değerini belirleyiniz.

[ArtOfMathSolving]

$A.G.O$ kullanalım. $\dfrac{ab+ac+bc}{3}\geq \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$ ve $\dfrac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$ elde ederiz. Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak,
$\dfrac{ab+ac+bc+a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+\sqrt[3]{abc} \Rightarrow 1\geq \sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+\sqrt[3]{abc}$ bulunur. Tekrar Aritmatik Geometrik ortalamadan $\dfrac{\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}+\sqrt[3]{abc}}{2} \geq \sqrt{\sqrt[3]{a^3b^3c^3}}$ elde ederiz ki buradan da $\dfrac{1}{4}\geq abc\geq 0$ buluruz.O zaman
$\mathcal S$'nin en küçük değerini $\dfrac{\mathcal S}{4}\geq \sqrt[4]{\dfrac{1}{16}} \Rightarrow  \geq 1 $ buluruz.

$\mathcal S$'nin en büyük değerini de $\dfrac{(a+b+c)^2}{3} \geq  \mathcal S \Rightarrow 3 \sqrt[3]{ \dfrac{1}{16}} $ buluruz. $\spadesuit$