Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 12  (Okunma sayısı 2088 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 12
« : Haziran 18, 2015, 06:30:34 ös »
Köşeleri, verilmiş bir düzgün $n$-genin köşeleri üzerinde olan ikizkenar üçgenlerin sayısı $s(n)$ olmak üzere, $s(n)>s(n+1)$ koşulunu sağlayan kaç $n \leq 2015$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 336
\qquad\textbf{b)}\ 403
\qquad\textbf{c)}\ 504
\qquad\textbf{d)}\ 671
\qquad\textbf{e)}\ 1007
$
« Son Düzenleme: Haziran 21, 2015, 11:06:22 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 12
« Yanıtla #1 : Ocak 03, 2016, 04:16:55 ös »
Yanıt: $\boxed{A}$

Problemi kavramak maksadıyla bazı düzgün çokgenleri çizip $s(n)$ değerlerini hesaplayalım. Aşağıdaki şekilde $s(3)=3-2=1$, $s(4)=4\cdot1=4$, $s(5)=5\cdot 2 = 10$, $s(6)=6\cdot 2-2\cdot2 = 8$, $ s(7)=7\cdot 3 = 21$, $ s ( 8 ) =8 \cdot 3 =24 $ olur.


Burada $s(n) > s(n+1)$ özelliğine sahip en küçük değerin $n=5$ olduğu görülüyor. Çünkü düzgün altıgende oluşan ikizkenar üçgenlerden bazıları eşkenar üçgen olduğu için bunlar ikişer kez fazla sayılmıştır. Bu fazlalıkları çıkarınca $s(n) > s(s+1)$ durumunun oluşması mümkün görülüyor.

Şimdi $n=2k+1$ formunda tek sayı olsun. Ayrıca eşkenar üçgenler oluşması için $3|n+1$ olmasını istiyoruz. Üstelik $n+1=2k+2$ çift sayı olduğundan $6|n+1$ dir. Bu şartlar altında $s(n)=k \cdot n = \dfrac{n-1}{2}\cdot n= \dfrac{n^2-n}{2}$ ve $s(n+1) = k\cdot (n+1) - \dfrac{n+1}{3}\cdot 2 = \dfrac{3n^2-4n-7}{6}$ olur. $s(n) > s(s+1)$ eşitsizliğinden $ \dfrac{n^2-n}{2} > \dfrac{3n^2-4n-7}{6}$ olup $n>-7$ bulunur. Dolayısıyla $6|n+1$ özelliğindeki her $n$ pozitif tamsayısı istenen özelliktedir. $n+1 \leq 2016$ olup $2016 = 336 \cdot 6$ dır. Yani $336$ tane $n$ değeri elde edilir.

Şimdi de $n=2k+2$ formundaki çift sayıları inceleyelim. Ayrıca $3|n+1$ olsun. Bu durumda da benzer hesaplamalarla $s(n) =\dfrac{n^2-2n}{2} $, $s(n+1) = \dfrac{3n^2-n-4}{6}$ olur. $s(n) > s(s+1)$ eşitsizliğinden $ \dfrac{n^2-2n}{2} > \dfrac{3n^2-n-4}{6}$ olup $5n< 4$ bulunur. Bu duruma uygun $n$ değeri yoktur.

Sonuç olarak toplam $336$ tane $n$ değeri vardır.
« Son Düzenleme: Ocak 03, 2016, 04:19:08 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal