Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 14

[ERhan ERdoğan]

$2015$ ten büyük olmayan pozitif tam sayılardan oluşan $ \{a_{1}, a_{2}, \dots ,a_{k} \}$ kümesinde herhangi iki elemanın farkı bu iki elemanın toplamını tam bölmüyorsa, $k$ en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 403
\qquad\textbf{b)}\ 462
\qquad\textbf{c)}\ 504
\qquad\textbf{d)}\ 613
\qquad\textbf{e)}\ 672
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{E}$

$2015$ den büyük olmayan pozitif tam sayıları $\{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \{7,8,9\}, \cdots, \{2011,2012,2013\}, \{2014,2015\}$ şeklinde $672$ ayrık altkümeye ayıralım. Görüldüğü üzere, bir altkümeden birden fazla eleman aldığımızda bu iki elemanın farkları, toplamlarını böler. O halde $k$ en fazla $672$ olabilir. Gerçekten de, her kümeden $3k+1$ formundaki sayıyı aldığımızda, bu iki sayının farkı $3$ e bölünür. Toplamları ise $3$ e bölündüğünde $2$ kalanı vereceğinden, farkları toplamlarını bölemez.