Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 26  (Okunma sayısı 1907 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 26
« : Haziran 18, 2015, 05:41:54 ös »
$n>1$ tam sayısının en büyük ve en küçük asal bölenlerinin toplamı $f(n)$ olmak üzere, $f(n)=n-23$ denklemini sağlayan kaç farklı $n>1$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$
« Son Düzenleme: Haziran 21, 2015, 11:10:20 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 26
« Yanıtla #1 : Haziran 20, 2015, 07:01:15 ös »
Yanıt: $\boxed B$

$n$ sayısının en küçük asal böleni $p$, en büyük asal böleni $q$ olsun.

$p=q$ ise $2p = p-23$ denklemini sağlayan $p$ asal sayısı yoktur. Dolayısıyla $n$ en az iki farklı asal çarpan içermelidir.

$n$ sayısı başka çarpanlar da içerebileceğinden $n\ge pq$ olduğu açıktır.
$f(n)=n-23 \Longrightarrow p+q=n-23\ge pq-23$
$p+q\ge pq-23 \Longrightarrow 24 \ge pq - p - q +1 \Longrightarrow 24 \ge (p-1)(q-1)$
$2\le p < q$ olduğunu bildiğimizden, $p=2,3,5$ olabilir.

$q=n-23-p$ olduğundan $q|n-(p+23) \Longrightarrow q|p+23$ tür. O halde,

$p=2 \Longrightarrow q|25 \Longrightarrow q=5 \Longrightarrow n=2+5+23=30$ sağlar.
$p=3 \Longrightarrow q|26 \Longrightarrow q=13 \Longrightarrow n=3+13+23=39$ sağlar.
$p=5 \Longrightarrow q|28 \Longrightarrow q=7 \Longrightarrow n=5+7+23=35$ sağlar.

Yani şartı sağlayan $n$ tam sayıları $30, 35, 39$ olmak üzere $3$ tanedir.
« Son Düzenleme: Haziran 21, 2015, 11:03:05 öö Gönderen: geo »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal