Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 31  (Okunma sayısı 2042 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 31
« : Haziran 18, 2015, 05:24:06 ös »
Elemanları $23$ ten büyük olmayan $a_{1}, a_{2}, \dots , a_{n}$ pozitif tam sayılar dizisinde ilk ve son eleman dışındaki her eleman iki komşusunun aritmetik ortalamasından büyüktür. Buna göre $n$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 13
\qquad\textbf{c)}\ 14
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 16
$
« Son Düzenleme: Haziran 21, 2015, 01:02:36 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı çılgın

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 14
  • Karma: +1/-1
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2015 Soru 31
« Yanıtla #1 : Temmuz 02, 2015, 08:14:52 ös »
Yanıt: $\boxed{C}$

$a,b,c$ dizinin $3$ ardışık terimi olmak üzere $a>b$ ise $b>c$ olduğu açıktır, yani dizi bir yerde azalmaya başladığında sürekli azalacaktır. Şimdi dizinin azalan $7.$ teriminin sıfırın altına ineceğini gösterelim. Dizinin en büyük terimi $x, x$ ten sonra gelen terim $y$ olsun. (eğer $x$ sayısı birden fazla kez geçiyorsa en sonuncusuna bakalım) Sonraki terim $z$ olmak üzere, soruda verilen koşuldan $2y>x+z$ olduğundan $2y-x>z$ olur, yani $z$ en fazla $2y-x-1$ olabilir, benzer şekilde yazarsak $z$ den sonraki terim $t$ olmak üzere $2(2y-x-1)>y+t$ olduğundan $t$ en fazla $3y-2x-3$ olabilir, bunu bu şekilde devam ettirerek $4y-3x-6, 5y-4x-10, 6y-5x-15$ ve $7.$ terim olan $7y-6x-21$ i buluruz. $x \geq y+1$ olduğundan $7y-6x-21 \leq 7y-6(y+1)-21=y-27<0$ buluruz (çünkü $y<23$ verilmiştir). Bu da demektir ki dizideki sayılar en fazla $6$ kez azalabilir. Sorunun başında söylediğimiz ifadeden dizinin bir yere kadar artan, en büyük sayıda tekrar eden ve sonra azalan olduğunu görebiliriz*. Bu da demektir ki ilk $7$ terim artan sırada olacak (yani terimler $6$ kez artacak), $7.$ terim belli sayıda tekrar edecek (ki bu sayı en fazla $2$ olabilir, sorudaki şarttan $3$ olamayacağı açıktır) ve simetrik bir şekilde $6$ terim daha eklenecek, bu da bize $14$ terimli bir dizi verir. Dizimize örnek olarak $2,8,13,17,20,22,23,23,22,20,17,13,8,2$ dizisini verebiliriz.

*Burada görmemiz gereken bir durum $a,b,c  b$ en büyük terim olmayacak şekilde ardışık terimler ve $a<b$ ise $b=c$ olabileceğidir, fakat bu durumda $c$ den sonra gelen terim $d$ olmak üzere $b=c$ olduğundan $c>d$ olmalıdır, ki bu durumda $b$ ve $c$ en büyük terim olur, çelişki.
« Son Düzenleme: Temmuz 03, 2015, 03:29:07 ös Gönderen: ERhan ERdoğan »
delirttiniz lan beni

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal