Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 23  (Okunma sayısı 1980 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 23
« : Mayıs 21, 2014, 03:55:44 ös »
$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $$(x^2+2x+8-4\sqrt{3})\cdot(x^2-6x+16-4\sqrt{3})$$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 112-64\sqrt{3}
\qquad\textbf{b)}\ 3-\sqrt{3}
\qquad\textbf{c)}\ 8-4\sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{3}-4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Mayıs 24, 2014, 02:32:49 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 23 - Tashih edildi
« Yanıtla #1 : Mayıs 21, 2014, 08:22:01 ös »
(Eray Atay)

Yanıt: $\boxed{A}$

$(x^2 + 2x+8-4\sqrt 3) \cdot (x^2-6x+16-4\sqrt 3) = \left [(x+1)^2 + (2-\sqrt 3)^2 \right ] \cdot \left [(x-3)^2 + (2-\sqrt 3)^2 \right ]$
$x$'li terimleri $0$ yapan sayılar $-1$ ve $3$ olduğundan, ifadenin en küçük değeri için $x$'in $-1$ ve $3$ arasında olması gerektiği açıktır. Çünkü aksi takdirde ifade daha büyük olacaktır.
$-1<x<3$ seçileceği için, $x-3$ yerine pozitif olması adına $3-x$ yazılıp Cauchy-Schwarz eşitsizliği uygulanırsa, $$\left [(x+1)^2 + (2-\sqrt 3)^2 \right ] \cdot \left [(2-\sqrt 3)^2 + (3-x)^2 \right ] \geq \left[ (x+1)(2-\sqrt 3) + (2-\sqrt 3)(3-x)\right ]^2 = [(2-\sqrt 3) \cdot 4]^2 = 112 - 64\sqrt 3$$ bulunur.
« Son Düzenleme: Mayıs 24, 2014, 02:32:00 ös Gönderen: geo »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal