Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 20  (Okunma sayısı 2785 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 20
« : Mayıs 21, 2014, 03:48:42 ös »
Her biri $2$ nin veya $3$ ün tam sayı kuvveti olan tam sayılardan oluşan ve tüm elemanlarının toplamı $2014$ olan kaç farklı küme vardır?

$
\textbf{a)}\ 64
\qquad\textbf{b)}\ 60
\qquad\textbf{c)}\ 54
\qquad\textbf{d)}\ 48
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
« Son Düzenleme: Haziran 26, 2014, 08:49:19 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı iskender

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 24
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 20
« Yanıtla #1 : Mayıs 23, 2014, 11:18:10 ös »
Yanıt: $\boxed{A}$
« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 12:58:29 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 20
« Yanıtla #2 : Mayıs 26, 2014, 10:51:09 ös »
Yanıt: $\boxed{A}$

İstenen özellikteki kümeden, $3$ ün kuvvetleri olan tüm sayıları ($1=3^0$ dahil) birleştirerek $a_i \in \{0,1\}$ olmak üzere $(A)_{10}=(a_6a_5a_4a_3a_2a_1a_0)_3$ sayısını elde edelim. $(B)_{10} = ( \cdots b_0)_2 = 2014 - (A)_{10}$ olsun.
$A$ nın basamaklarını seçtiğimizde, $B$ nin basamakları kendiliğinden dolacaktır. Normalde, hiçbir kısıtlama olmaksızın $2^7$ farklı $A$ sayısı elde edilebilir. Hiçbir kısıtlama olmaksızın dedik; çünkü $3$ lük tabanda sadece $0,1$ lerden oluşan her $A$ sayısı böyle bir dağılımı mümkün kılmayabilir. Örneğin, $A \mod 6 = 1$ olduğunda, $A$ sayısı tek olduğu için, $B$ sayısı da tektir. Bu durumda, $a_0 = b_0 = 1$ olacaktır. $1$ sayısını $a_0$ için kullandığımızdan $B$ sayısının $2$ tabanındaki gösteriminde son basamak $1$ olamaz. $a_0 = 1$ olduğunda $A$ nın tek sayı olması için $a_1, a_2, \cdots, a_6$ nın çift sayıda $1$ içermesi gerekir. $\dfrac{6!}{0! \cdot 6!} + \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} + \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} + \dfrac{6!}{6! \cdot 0!} = 32$ olduğu için, bu şekilde $32$ farklı $A$ sayısı vardır.

$A \mod 6 = 0$ olduğunda, $A$ çift sayı olduğu için $B$ de çift sayı olacaktır. Bu durumda, $a_0 = 0$ ve $b_0 = 0$ olur. $a_0=0$ olduğundan dolayı $A$ nın çift sayı olması için $a_1, a_2, \cdots, a_6$ nın çift sayıda $1$ içermesi gerekir. Bu şekilde $32$ farklı $A$ sayısı olduğunu az önce göstermiştik.

$A \mod 6 = 3$ olduğunda, $a_0=0$ olur ve $a_1, a_2, \cdots, a_6$ sayıları tek sayıda $1$ içerir. $A$ tek sayı olduğu için, $B$ de tek sayıdır. Bu durumda $b_0=1$ dir. $1$ sayısı $A$ nın $3$ tabanındaki yazılımında kullanılmadığı için sorun teşkil etmez. Daha önce $a_1, \cdots, a_6$ sayılarının çift sayıda $1$ içeren $32$ farklı permütasyonu olduğunu göstermiştik. $2^6 = 64$ olduğu için, tek sayıda $1$ içeren de $64-32=32$ sayı vardır.

$A \mod 6 = 4$ olduğunda $a_0 = 1$ olur ve $a_1, a_2, \cdots, a_6$ sayıları tek sayıda $1$ içerir. $A$ çift sayı olduğu için $B$ de çift sayı olacaktır. Bu durumda, $b_0=0$ dır. $1$ sayısının kullanımı açısından burada da bir sorun yok; ama başka bir sorun var. $A \mod 6 =3$ ise $(A+1) \mod 6 = 4$ olacaktır. $A$ nın $3$ tabanındaki son basamağı $a_0=0$ ve $B$ nin $2$ tabanındaki son basamağı $b_0 = 1$ olduğu için, $A$ ile $A+1$ sayılarının son basamakları haricindeki diğer basamakları aynıdır. Benzer şekilde, $B$ ile $B-1$ in son basamakları haricindeki diğer basamakları aynıdır. Bu durumda $(A,B)$ ikilisinden gelecek küme ile $(A+1, B-1)$ ikilisinden gelecek küme aynı olacaktır. $(0)_3 = 0 \equiv 0 \pmod 6$ ve $(1111111)_3 = 1093 \equiv 1 \pmod 6$ olduğu için $A$ nın tüm değerleri arasından her $A \mod 6 = 3$ için $1$ tane $A+1 \mod 6 = 4$ bulunacaktır.

O halde, farklı kümeleri sayarsak $32+32 = 64$ küme elde ederiz.
« Son Düzenleme: Haziran 15, 2014, 01:37:16 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 381
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 20 - Tashih edildi
« Yanıtla #3 : Mayıs 28, 2014, 12:48:00 öö »
(Eray Atay)

Yanıt: $\boxed{A}$

$A$ sayısı $3$'ün kuvvetlerinin toplamından, $B$ sayısı da $2$'nin kuvvetlerinin toplamından oluşsun.
$A+B=2014$'tür. Bir kümede aynı sayı $2$ kez yazılamayacağından dolayı $2$ şartımız vardır:
Şart 1: $A$ sayısı $3$ tabanında $0$ ve $1$'lerden oluşmalıdır. $B$ sayısında $2$ tabanında aynı durum her zaman geçerli olduğundan bir kısıtlama yoktur.
Şart 2: $A$ sayısında $3^0=1$ ve $B$ sayısında $2^0=1$ aynı anda bulunamaz.

$3^7=2187>2014$ olduğundan $A$'da $3$'ün en fazla $6$. kuvveti bulunabilir. Yani $3^0, 3^1, 3^2,\cdots, 3^6$ olmak üzere $7$ adet $3$'ün kuvveti $A$'da bulunabilir. Ayrıca hepsinin toplamı $1093$ olduğundan hepsi aynı anda da bulunabilir.

$2$ durum söz konusudur.

Durum 1: Ne $A$'da, ne de $B$'de $3^0=2^0=1$ sayısı bulunsun.
Bu, $B$'nin çift olacağı anlamına gelir. $A+B=2014$ olduğundan $A$'yı çift seçmek yeterlidir. $A$'da $3^0$ sayısı bulunmadığına göre kalan $6$ kuvvetten çift sayıda bulunmalıdır. Bunların sayısı ise, $\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32$'dir. $A$ sayısı seçildiğinde, $B=2014-A$ sayısı zaten oluşacaktır. O halde Durum 1'de $32$ adet küme oluşturulabilir.

Durum 2: $A$ veya $B$'den herhangi birinde $3^0=2^0=1$ sayısı bulunsun.
$A=(a_1\cdots{a_n}1)_3$, $B=(b_1\cdots{b_m}0)_2$ durumu ile $A=(a_1\cdots{a_n}0)_3$, $B=(b_1\cdots{b_m}1)_2$ durumu aynı kümeyi verecektir. Yani herhangi birinde $1$ sayısı var iken, hangisinde olduğu sonucu değiştirmeyecektir. $A_1 =(a_1\cdots{a_n}0)_3$, $B_1 =(b_1\cdots{b_m}0)_2$ şeklide tanımlama yapalım. Buna göre, $A_1$ veya $B_1$'de $3^0=2^0=1$ sayısı bulunmamak şartı ile, $A_1+B_1=2013$ denkleminin çözüm sayısı bize Durum 2'den gelecek olan çözüm sayısını verir.
$B_1$'de $2^0$ bulunmayacağına göre $B_1$ çifttir, yani $A_1$ tektir. O halde $A_1$'de $3^1, 3^2, \cdots, 3^6$ sayılarından tek sayıda bulunmalıdır. Bunların sayısı ise $\binom{6}{1}+\binom{6}{3}+\binom{6}{5}=32$'dir. Yani Durum 2'de $32$ adet küme oluşturulabilir.

O halde, toplam küme sayımız $32+32=64$'tür.
« Son Düzenleme: Haziran 26, 2014, 08:53:24 ös Gönderen: scarface »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal