Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 14  (Okunma sayısı 2593 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 14
« : Mayıs 21, 2014, 03:33:27 ös »
Kaç farklı $p$ asal sayısı için, $ p\mid n^3+3$ ve $p\mid n^5+5$ olacak biçimde bir $n$ tam sayısı bulnur?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$
« Son Düzenleme: Mayıs 25, 2014, 07:16:37 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı osman211

  • G.O Bağımlı Üye
  • *****
  • İleti: 118
  • Karma: +3/-1
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 14
« Yanıtla #1 : Mayıs 21, 2014, 05:58:50 ös »

n3=-3(modp) dersek   burdan   n5+5=0(modp) de yerine yazınca

3n2=5(modp) gelir  burdan  tekrar ilk bağlantıda yerine yazınca 5n=-9(modp) 


1. bağıntıyı 125 le çarparsak   (5n)3+125.3=0(modp)  ----> 5n=-9(modp) oldunu biliyoz

burdan 59.3.2=0(modp)   buluruz  p=2 ve p=59 sağlar ancak p=3 için bakarsak

n sayisi 3 ile bolunur  burdan diğer denklemde yerine yazınca bolunmez o yüzden p=3 sağlamaz

cevap P=2 ve P=59 dur



« Son Düzenleme: Nisan 23, 2016, 12:58:01 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 14
« Yanıtla #2 : Mayıs 21, 2014, 06:25:44 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

öklit algoritması kullanalım.

$(n^3+3 , n^5+5)$  birinciyi $n^2$ ile çarpalım ve çıkartalım

$(n^3+3 , 5-3n^2)$ birinciyi $3$ ile ikinciyi $n$ ile çarpalım ve toplayalım

$(5n+9 , 5-3n^2)$  birinciyi $3n$ ile ikinciyi $5$ ile çarpalım ve toplayalım

$(5n+9 , 27n+25)$ birinciyi $27$ ikinciyi $5$ ile çarpalım ve çıkartalım

$(118 , 135n+125)$ bulunur.

$118=2\cdot59$ olup $p=2$ ve $p=59$ için istenen sağlanır.
« Son Düzenleme: Mayıs 25, 2014, 07:21:35 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1812
  • Karma: +8/-0
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 14 - Tashih edildi
« Yanıtla #3 : Mayıs 25, 2014, 07:21:26 ös »
$p \mid n^3 + 3 \Longrightarrow p \mid (n^3)^5 + 3^5$

$p \mid n^5 + 5 \Longrightarrow p \mid (n^5)^3 + 5^3$

$p \mid (n^{15} + 243) - (n^{15}+125) \Longrightarrow p \mid 118$

$(p,n)=(2,1)$ ve $(p,n)=(59,10)$ ikilileri verilen koşulu sağlar.

Kaynak: AoPS

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal