Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 35

[ERhan ERdoğan]

$a, b, c$ gerçel sayılar olmak üzere, $P(x) = ax^2 + bx + c$ polinomunun farklı gerçel köklerinin sayısı $1$, $P(P(P(x)))$ polinomunun farklı gerçel köklerinin sayısı da $3$ ise, $abc$ ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -3
\qquad\textbf{b)}\ -2
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt{3}
\qquad\textbf{d)}\ 3\sqrt{3}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$P(x)$ polinomunun gerçel kök sayısı $1$ olduğundan $P(x)=a(x-k)^2$ formatındadır. $k=0$ ise $P(P(P(x)))=a^7x^8$ olacağından $3$ farklı kökü olmayacaktır. Dolayısıyla $k\neq 0$'dır. Şimdi $P(P(x))$'i hesaplayalım. $$P(P(x))=a\left(P(x)-k\right)^2=a\left(a(x-k)^2-k\right)^2$$ $P(x)=0\iff x=k$ olduğundan $$P(P(P(x)))=0\iff a\left(a(x-k)^2-k\right)^2=k$$ olacaktır. $Q(x)=a\left(a(x-k)^2-k\right)^2-k$ polinomu $4.$ derecedendir fakat $3$ kökü olmasını istiyoruz. O halde tam olarak bir kökü katlı köktür. Yani bu kök, $Q'(x)$'in de köküdür. Dolayısıyla $$Q'(x)=4a^2\left(a(x-k)^2-k\right)(x-k)=0$$ $k\neq 0$ olduğundan $\left(a(x-k)^2-k\right)\neq 0$'dır aksi takdirde bu katlı kök için $Q(x_0)=0$ olacağından $k=0$ bulunur. Yani katlı kök $x_0=k$'dır. Bunu $Q(x)$'de yazarsak $ak^2=k$ ve $k=\dfrac{1}{a}$ bulunur. Yani $P(x)=a\left(x-\dfrac{1}{a}\right)^2$ formatındadır. Bu ifadeyi açarsak $b=-2$ ve $c=\dfrac{1}{a}$ bulunur. Yani $\boxed{abc=-2}$ olacaktır.

Örnek durum $a=1$ konularak bulunabilir. Denememiş olmamla beraber her $a\neq 0$ gerçel sayısının da bu özelliği sağladığını düşünüyorum.