Gönderen Konu: Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 18  (Okunma sayısı 1893 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1421
  • Karma: +12/-0
Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 18
« : Mayıs 09, 2014, 01:53:31 öö »
$n^3+8$ sayısının en çok üç pozitif böleninin bulunmasını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3199
  • Karma: +22/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 18
« Yanıtla #1 : Temmuz 17, 2014, 06:39:59 ös »
Yanıt: $\boxed{B}$

Bir pozitif böleni olan sayılar $1$ ve $-1$ dir. $n^3+8=1$, $n^3+8=-1$ denklemlerinin tam sayı çözümü yoktur.
$p$ bir asal sayı olmak üzere iki pozitif böleni olan sayılar $p$ ve $-p$ dir. $n^3+8=p$ ve $n^3+8=-p$ denklemlerini inceleyelim. $n^3+8=(n+2)(n^2-2n+4)$ şeklinde çarpanlara ayrılır. Ayrıca $n^2-2n+4 = (n-1)^2 +3 \geq 3$ olduğunu göz önüne alırsak $n+2=1$, $ n^2-2n+4=p$ olabilir. Bu halde $n=-1$ için $p= n^2-2n+4=3$ asal sayı elde edilir. $n^3+8=-p$ durumu incelenirse $n+2=-1$, $ n^2-2n+4=p$ olabilir. Buradan $n=-3$ için $p= n^2-2n+4=19$ asal sayısı elde edilir.
Son olarak üç pozitif böleni ola sayıları inceleyelim. Bu sayılar $p^3$ ve $-p^2$ şeklindedir. $ n^3+8=p^2 $ durumunda $n+2=p$, $n^2-2n+4=p$ olup $ n^2-2n+4=n+2$ denkleminden $n=1$, $n=2$ çözümleri bulunur. $n=1$ için $p=n+2=3$ asal sayıdır. $n=2$ için $p=n+2=4$ asal değil. $ n^3+8=-p^2 $ durumunda $n+2=-p$, $ n^2-2n+4=p $ olup $ n^2-2n+4=-n-2$ dir. Bu denklemin tamsayı çözümü yoktur. Sonuç olarak $n \in \{-3,-1,1\}$ şeklinde $3$ değer alabilir.
« Son Düzenleme: Temmuz 19, 2014, 09:09:47 öö Gönderen: geo »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal