Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 19

[ERhan ERdoğan]

$x_{1}=5 , x_{2}=401$ ve her $3 \leq n \leq m $ için $$x_{n}=x_{n-2}-\dfrac{1}{x_{n-1}}$$ ise, $m$ nin alabileceği en büyük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 406
\qquad\textbf{b)}\ 2005
\qquad\textbf{c)}\ 2006
\qquad\textbf{d)}\ 2007
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$x_m=0$ iken $x_{m+1}$ tanımsız olmaktadır. Bu sebeple $x_m=0$ olmasını sağlayan ilk $m$ pozitif tam sayısını bulmalıyız. Verilen indirgeme bağıntısını $x_nx_{n-1}-x_{n-1}x_{n-2}=-1$ şeklinde teleskopik hale getirelim. Şimdi $n=3,4, \dots, m$ için toplam oluşturalım:
$ \sum_{n=3}^{m} \left(x_n x_{n-1} -x_{n-1}x_{n-2} \right)= (-1)\cdot (m-2)$
olup $x_m x_{m-1}-x_{2}x_{1} = 2-m$ dir. Buradan $m=2007$ elde edilir.