Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 23

[geo]

$$\dfrac{x-1}{xy-3}=\dfrac{3-x-y}{7-x^2-y^2}=\dfrac{y-2}{xy-4}$$ denklem sisteminin kaç çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

$b+d\neq 0$ için $k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ ise $k=\dfrac{a+c}{b+d}$ olduğunu kullanalım (kesir sayısı istenildiği kadar arttırılabilir). $(xy-3)+(7-x^2-y^2)+(xy-4)=2xy-x^2-y^2=-(x-y)^2\neq 0$ ise bu oran $$\dfrac{(x-1)+(3-x-y)+(y-2)}{(xy-3)+(7-x^2-y^2)+(xy-4)}=0$$ sonucuna eşit olur. Yani $x-1=3-x-y=y-2=0$ olacaktır. $\boxed{(x,y)=(1,2)}$ elde edilir ve yerine koyarsa eşitlik sağlanır.

Eğer $-(x-y)^2=0$ ise $x=y$ olacaktır. Yerine yazarsak $$\dfrac{x-1}{x^2-3}=\dfrac{3-2x}{7-2x^2}=\dfrac{x-2}{x^2-4}$$ elde edilir. Birinci ve üçüncü kesiri eşitleyip içler dışlar çarpımı yapalım $$(x-1)(x^2-4)=(x-2)(x^2-3)\implies x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0$$ olur. $x=y=2$ için üçüncü kesir tanımsız olur. $\boxed{(x,y)=(-1,-1)}$ ise eşitlikleri sağlar. Toplamda $2$ çözüm vardır.